Em um instante dado, o comprimento de um lado de um triângulo retângulo é 10 cm e cresce à razão de
; o comprimento do outro lado é de 12 cm e decresce à razão de
. Calcule a razão de variação da medida do ângulo agudo oposto ao lado de 12 cm , medido em radianos, no instante dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo retângulo onde um dos lados mede 10 cm e está crescendo a uma taxa de 1 cm por segundo. O outro lado mede 12 cm e está diminuindo a 2 cm por segundo. Precisamos descobrir como está mudando o ângulo agudo oposto ao lado de 12 cm naquele exato momento. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de taxas relacionadas e um pouco de trigonometria, tipo as funções seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais lados do triângulo correspondem às funções trigonométricas. O lado de 12 cm é o lado adjacente ao ângulo que queremos analisar, e o lado de 10 cm é o lado oposto. Como é um triângulo retângulo, podemos usar a função tangente para relacionar esses lados com o ângulo.
Passo 3
Sabemos que
. Agora, queremos encontrar a taxa de variação de
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados da equação
em relação ao tempo
. Usando a regra da cadeia, a derivada de
é
.
Passo 5
Também precisamos considerar que os lados estão mudando com o tempo. O lado oposto está crescendo a 1 cm/s e o lado adjacente está diminuindo a 2 cm/s. Então, temos:
Mas precisamos ajustar isso com as taxas de variação dos lados.
Passo 6
Vamos usar a derivada implícita. A equação correta para diferenciar é:
Onde
cm e
cm. Diferenciando em relação ao tempo:
Passo 7
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 8
Sabemos que
. Já temos
, então:
Passo 9
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A taxa de variação do ângulo agudo é
.