Em um instante dado, o comprimento de um lado de um triângulo retângulo é 10 cm e cresce à razão de ; o comprimento do outro lado é de 12 cm e decresce à razão de . Calcule a razão de variação da medida do ângulo agudo oposto ao lado de 12 cm , medido em radianos, no instante dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo retângulo onde um dos lados mede 10 cm e está crescendo a uma taxa de 1 cm por segundo. O outro lado mede 12 cm e está diminuindo a 2 cm por segundo. Precisamos descobrir como está mudando o ângulo agudo oposto ao lado de 12 cm naquele exato momento. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de taxas relacionadas e um pouco de trigonometria, tipo as funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais lados do triângulo correspondem às funções trigonométricas. O lado de 12 cm é o lado adjacente ao ângulo que queremos analisar, e o lado de 10 cm é o lado oposto. Como é um triângulo retângulo, podemos usar a função tangente para relacionar esses lados com o ângulo.

Passo 3

Sabemos que . Agora, queremos encontrar a taxa de variação de , ou seja, .

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo . Usando a regra da cadeia, a derivada de é .

Passo 5

Também precisamos considerar que os lados estão mudando com o tempo. O lado oposto está crescendo a 1 cm/s e o lado adjacente está diminuindo a 2 cm/s. Então, temos:
çáã
Mas precisamos ajustar isso com as taxas de variação dos lados.

Passo 6

Vamos usar a derivada implícita. A equação correta para diferenciar é:
Onde cm e cm. Diferenciando em relação ao tempo:

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:

Passo 8

Sabemos que . Já temos , então:

Passo 9

Agora, resolvemos para :

Resposta

A taxa de variação do ângulo agudo é .

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