Mostre que as superfícies dadas pelas equações
são ortogonais em todo ponto de interseção e, além disso, faça um esboço das superfícies e da curva de interseção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que as superfícies definidas pelas equações
e
são ortogonais (ou seja, se cruzam formando um ângulo de 90 graus) em todos os pontos onde elas se encontram. Além disso, também precisamos fazer um esboço dessas superfícies e da curva onde elas se intersectam. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o de gradientes e a ortogonalidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que duas superfícies são ortogonais em seus pontos de interseção. Quando duas superfícies se cruzam, as normais (vetores perpendiculares) a cada superfície no ponto de interseção devem ser perpendiculares entre si. Se as normais forem perpendiculares, isso garante que as superfícies se intersectam a 90 graus.
Passo 3
Para encontrar as normais às superfícies, vamos calcular os gradientes das funções que definem as superfícies. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e é perpendicular à superfície
.
Vamos definir as funções das superfícies:
Passo 4
Agora, vamos calcular os gradientes dessas funções:
Passo 5
Para verificar a ortogonalidade das superfícies, vamos analisar o produto escalar dos gradientes
e
. Se o produto escalar for zero, significa que os gradientes são perpendiculares.
Vamos calcular:
Passo 6
Note que na interseção das superfícies, as duas equações são verdadeiras simultaneamente. Ou seja,
.
Vamos substituir
por
na expressão do produto escalar:
Passo 7
Como o produto escalar é igual a zero, isso confirma que os gradientes são perpendiculares em todos os pontos de interseção das superfícies. Portanto, as superfícies são ortogonais em todo ponto onde elas se encontram.
Passo 8
Agora, vamos fazer um esboço das superfícies e da curva de interseção.
-
: Essa é a equação de um cone duplo com o vértice na origem, abrindo-se para cima e para baixo. -
: Essa é a equação de uma esfera de raio 1, centrada na origem.
A curva de interseção será onde o cone e a esfera se encontram. Substituindo
do cone na equação da esfera:
Isso representa um círculo no plano
.
Resposta
As superfícies
e
são ortogonais em todos os pontos de interseção. Além disso, o esboço mostra um cone duplo intersectando uma esfera, com a curva de interseção sendo dois círculos nos planos
e
.
Exercícios relacionados
Encontre a matriz Jacobiana da função
, definida por
, no ponto
.
Seja
uma função, dada por
. Encontre a direção em que a derivada direcional no ponto
é zero.
A curva
, dada por
, tem um ponto em comum com a superfície
. Determine o ângulo entre
e o vetor normal à superfície neste ponto.
Calcule os seguintes limites, se existirem. Caso contrário, verifique a não existência.