Mostre que as superfícies dadas pelas equações
são ortogonais em todo ponto de interseção e, além disso, faça um esboço das superfícies e da curva de interseção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que as superfícies definidas pelas equações e são ortogonais (ou seja, se cruzam formando um ângulo de 90 graus) em todos os pontos onde elas se encontram. Além disso, também precisamos fazer um esboço dessas superfícies e da curva onde elas se intersectam. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o de gradientes e a ortogonalidade entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que duas superfícies são ortogonais em seus pontos de interseção. Quando duas superfícies se cruzam, as normais (vetores perpendiculares) a cada superfície no ponto de interseção devem ser perpendiculares entre si. Se as normais forem perpendiculares, isso garante que as superfícies se intersectam a 90 graus.

Passo 3

Para encontrar as normais às superfícies, vamos calcular os gradientes das funções que definem as superfícies. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de e é perpendicular à superfície .
Vamos definir as funções das superfícies:

Passo 4

Agora, vamos calcular os gradientes dessas funções:

Passo 5

Para verificar a ortogonalidade das superfícies, vamos analisar o produto escalar dos gradientes e . Se o produto escalar for zero, significa que os gradientes são perpendiculares.
Vamos calcular:

Passo 6

Note que na interseção das superfícies, as duas equações são verdadeiras simultaneamente. Ou seja, .
Vamos substituir por na expressão do produto escalar:

Passo 7

Como o produto escalar é igual a zero, isso confirma que os gradientes são perpendiculares em todos os pontos de interseção das superfícies. Portanto, as superfícies são ortogonais em todo ponto onde elas se encontram.

Passo 8

Agora, vamos fazer um esboço das superfícies e da curva de interseção.
  • : Essa é a equação de um cone duplo com o vértice na origem, abrindo-se para cima e para baixo.
  • : Essa é a equação de uma esfera de raio 1, centrada na origem.
A curva de interseção será onde o cone e a esfera se encontram. Substituindo do cone na equação da esfera:
Isso representa um círculo no plano .

Resposta

As superfícies e são ortogonais em todos os pontos de interseção. Além disso, o esboço mostra um cone duplo intersectando uma esfera, com a curva de interseção sendo dois círculos nos planos e .

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