Sejam f, g: R R e a in R um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma f(x)+g(x) no ponto x0 :
(f+g)^prime(x0)=f^prime(x0)+g^prime(x0)
(b) Derivada da função a f(x) :
(a f)^prime(x0)=a f^prime(x0)
© Derivada do produto f(x) g(x) no ponto x0 :
(f g)^prime(x0)=f(x0) g^prime(x0)+f^prime(x0) g(x0)
(d) Derivada do quociente f(x) / g(x) no ponto x0 :
(f / g)^prime(x0)=g(x0) f^prime(x0)-f(x0) g^prime(x0)g(x0)^2
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se f(x)=sen(x), temos f^prime(x0)=cos (x0);
(b) se f(x)=cos (x), temos f^prime(x0)=-sen(x0);
© se f(x)=tg(x) (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
1g(x) num ponto arbitrário

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função em um ponto qualquer. Aqui, vamos usar as regras de derivação que você me enviou, especialmente a do quociente. Para isso, precisamos entender como aplicar essas regras passo a passo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivada. Sabemos que é equivalente a . Isso nos ajuda a identificar que estamos lidando com uma potência de .

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada de ddx [ g(x)^n ] = n cdot g(x)^n-1 cdot g'(x) , podemos usar a regra da derivada de uma potência composta por uma função. A regra geral é:
Onde é qualquer número real e é a derivada de .

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função, onde ddx [ g(x)^-1 ] = -1 cdot g(x)^-2 cdot g'(x) , temos:

Passo 5

Simplificando a expressão, obtemos:
ddx [ 1g(x) ] = -g'(x)g(x)^2

Resposta

A derivada de ( 1g(x) )' = -g'(x)g(x)^2 em um ponto arbitrário é:

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