Determine se a função f: R -> R dada por:
f(x) = { -x^2 + 2 se x <= 1; x se x > 1 }
é derivável no ponto x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função definida por partes é derivável no ponto . Isso envolve entender sobre derivadas e como elas funcionam em funções que mudam de fórmula em certos pontos.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Então, vamos verificar se a função é contínua em .

Passo 3

Vamos verificar a continuidade em . Calculamos o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ):
Para :
Para :
Como os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função em , a função é contínua nesse ponto.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda em . A função para é . Derivando essa parte:
Então, a derivada pela esquerda em é:

Passo 5

Em seguida, calculamos a derivada pela direita em . A função para é . Derivando essa parte:
Então, a derivada pela direita em é:

Resposta

Como as derivadas pela esquerda ( ) e pela direita ( ) em são diferentes, a função não é derivável no ponto .

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