Determine se a função dada por:
é derivável no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função definida por partes é derivável no ponto . Isso envolve entender sobre derivadas e como elas funcionam em funções que mudam de fórmula em certos pontos.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Então, vamos verificar se a função é contínua em .

Passo 3

Vamos verificar a continuidade em . Calculamos o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ):
Para :
Para :
Como os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função em , a função é contínua nesse ponto.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda em . A função para é . Derivando essa parte:
Então, a derivada pela esquerda em é:

Passo 5

Em seguida, calculamos a derivada pela direita em . A função para é . Derivando essa parte:
Então, a derivada pela direita em é:

Resposta

Como as derivadas pela esquerda ( ) e pela direita ( ) em são diferentes, a função não é derivável no ponto .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos , e onde é um ponto onde não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador ou ou do grau do denominador.
Sejam e um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto :
(b) Derivada da função :
© Derivada do produto no ponto :
(d) Derivada do quociente no ponto :
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos ;
(b) se , temos ;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Sejam e um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto :
(b) Derivada da função :
© Derivada do produto no ponto :
(d) Derivada do quociente no ponto :
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos ;
(b) se , temos ;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
num ponto arbitrário
Use a regra de cadeia: , onde significa a composição de funções, isto é, : para calcular as seguintes derivadas.
(Exemplo) então $(g \circ f)^{\prime}(x)=\left(\