Determine se a função
dada por:
é derivável no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função
definida por partes é derivável no ponto
. Isso envolve entender sobre derivadas e como elas funcionam em funções que mudam de fórmula em certos pontos.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Então, vamos verificar se a função é contínua em
.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade em
. Calculamos o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
) e pela direita (
):
Para
:
Para
:
Como os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função em
, a função é contínua nesse ponto.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda em
. A função para
é
. Derivando essa parte:
Então, a derivada pela esquerda em
é:
Passo 5
Em seguida, calculamos a derivada pela direita em
. A função para
é
. Derivando essa parte:
Então, a derivada pela direita em
é:
Resposta
Como as derivadas pela esquerda (
) e pela direita (
) em
são diferentes, a função
não é derivável no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos
, e
onde
é um ponto onde
não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador
ou
ou
do grau do denominador.
Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto
:
(a) Derivada da soma
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos
;
(b) se , temos
;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto
:
(a) Derivada da soma
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos
;
(b) se , temos
;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
num ponto arbitrário
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Use a regra de cadeia:
, onde
significa a composição de funções, isto é,
: para calcular as seguintes derivadas.
(Exemplo) então $(g \circ f)^{\prime}(x)=\left(\
(Exemplo)