As funções abaixo são definidas de
para
. Encontre os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o limite de uma função quando
tende ao infinito. A função dada é
. Vamos trabalhar com o conteúdo de limites em sequências, que nos ajuda a entender o comportamento das funções conforme as variáveis crescem sem parar. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o crescimento dos termos no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador separadamente. No numerador temos
e no denominador temos
. Quando
fica bem grande, os termos com maior potência são os que mais influenciam o resultado. Ou seja, no numerador, o termo
é o mais importante, e no denominador,
domina.
Passo 3
Agora, para facilitar o cálculo do limite, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
, que é o termo de maior grau no denominador. Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece com cada termo quando
tende ao infinito:
-
tende a 0. -
também tende a 0, ainda mais rápido. - No denominador,
tende a 1.
Então, substituindo esses valores no nosso limite, temos:
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
As funções abaixo são definidas de
para
. Encontre os seguintes limites:
Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto
:
(a) Derivada da soma
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos
;
(b) se , temos
;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
. (Use a regra de multiplicação e a derivada de
.)
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
As funções abaixo são definidas de
para
. Encontre os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos
, e
onde
é um ponto onde
não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador
ou
ou
do grau do denominador.
(Calcule para
, e
onde a função não é definida)