As funções abaixo são definidas de N para R. Encontre os seguintes limites: lim n infty n-1n^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o limite de uma função quando tende ao infinito. A função dada é . Vamos trabalhar com o conteúdo de limites em sequências, que nos ajuda a entender o comportamento das funções conforme as variáveis crescem sem parar. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o crescimento dos termos no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador separadamente. No numerador temos e no denominador temos . Quando fica bem grande, os termos com maior potência são os que mais influenciam o resultado. Ou seja, no numerador, o termo é o mais importante, e no denominador, domina.

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo do limite, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por n - 1n^2 - 1 = nn^2 - 1n^2n^2n^2 - 1n^2 = 1n - 1n^21 - 1n^2 , que é o termo de maior grau no denominador. Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com cada termo quando 0 - 01 - 0 = 01 = 0 tende ao infinito:
  • tende a 0.
  • também tende a 0, ainda mais rápido.
  • No denominador, tende a 1.
Então, substituindo esses valores no nosso limite, temos:

Resposta

O limite é igual a 0.

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