As funções abaixo são definidas de para . Encontre os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o limite de uma função quando tende ao infinito. A função dada é . Vamos trabalhar com o conteúdo de limites em sequências, que nos ajuda a entender o comportamento das funções conforme as variáveis crescem sem parar. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o crescimento dos termos no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador separadamente. No numerador temos e no denominador temos . Quando fica bem grande, os termos com maior potência são os que mais influenciam o resultado. Ou seja, no numerador, o termo é o mais importante, e no denominador, domina.

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo do limite, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por , que é o termo de maior grau no denominador. Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com cada termo quando tende ao infinito:
  • tende a 0.
  • também tende a 0, ainda mais rápido.
  • No denominador, tende a 1.
Então, substituindo esses valores no nosso limite, temos:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

As funções abaixo são definidas de para . Encontre os seguintes limites:
Sejam e um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto :
(b) Derivada da função :
© Derivada do produto no ponto :
(d) Derivada do quociente no ponto :
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos ;
(b) se , temos ;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
. (Use a regra de multiplicação e a derivada de .)
As funções abaixo são definidas de para . Encontre os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos , e onde é um ponto onde não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador ou ou do grau do denominador.
(Calcule para , e onde a função não é definida)