Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a série de Fourier da função dada. A matéria aqui é Série de Fourier, que serve para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar identificar os coeficientes da série usando as fórmulas de Fourier e entender como a função está definida no intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . Ela está definida de forma diferente em dois intervalos:
Para ,
Para ,
E essa função se repete a cada unidades, ou seja, é periódica com período .
Passo 3
Como a função é periódica e definida no intervalo de a , o período , a frequência fundamental será .
Passo 4
A série de Fourier para uma função periódica com período é dada por:
Precisamos encontrar os coeficientes , e .
Passo 5
Primeiro, vamos calcular , que é a média da função no intervalo:
Substituindo na integral:
Passo 6
Calculando as integrais:
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular os coeficientes :
Note que é uma função ímpar (simétrica em relação à origem), e é par, então o produto é ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero:
Passo 8
Agora, vamos calcular os coeficientes :
Novamente, como é ímpar e também é ímpar, o produto é par. Portanto, podemos simplificar: