Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
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Passo 1
Neste exercício, precisamos calcular o limite . Vamos trabalhar com o conteúdo de limites de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como as funções seno e cosseno se comportam perto de zero e aplicar técnicas de cálculo de limites.
Passo 2
Primeiro, observamos o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0:
-
se aproxima de 1, então se aproxima de 0. - também se aproxima de 0.
Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos de uma estratégia para resolver esse limite. Uma ferramenta útil para esses casos é a Regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital nos diz que se temos um limite da forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite das derivadas. Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da nova expressão:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
O limite é igual a
.
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Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Encontre a série de Fourier da função dada.
Mostre que a sequência
converge e obtenha o seu limite.
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