Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
l) lim x 0 cos x-1sen x

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular o limite . Vamos trabalhar com o conteúdo de limites de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como as funções seno e cosseno se comportam perto de zero e aplicar técnicas de cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, observamos o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de 0:
  • cos x se aproxima de 1, então cos x - 1 se aproxima de 0.
  • também se aproxima de 0.
Isso nos dá uma forma indeterminada sen x, o que significa que precisamos de uma estratégia para resolver esse limite. Uma ferramenta útil para esses casos é a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital nos diz que se temos um limite da forma 00 ou inftyinfty, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite das derivadas. Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da nova expressão:
Sabemos que:
  • limx 0 -sen xcos x
Portanto:

Resposta

O limite é igual a lim x 0 cos x - 1sen x.

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