Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
f(x) = { cos(x), -pi <= x <= 0 ; sen(x), 0 <= x <= pi }, T = 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a série de Fourier da função que é definida por:
Isso envolve decompor a função em uma soma de senos e cossenos. Para fazer isso, vamos precisar usar as fórmulas das séries de Fourier para funções periódicas com período .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica de período é dada por:
Aqui, é o termo constante, e e são os coeficientes dos cossenos e senos, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente , que é dado por:
Como a função é diferente em e , vamos dividir a integral:

Passo 4

Calculando as integrais separadamente:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Dividindo a integral:

Passo 6

Usamos a fórmula do produto de cossenos:
Então,
Calculando essas integrais:
Após calcular e simplificar, percebemos que esses termos se anulam devido à simetria, resultando em para todos .

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Dividindo a integral:

Passo 8

Usamos as fórmulas de produtos trigonométricos:
Calculando as integrais e simplificando, obtemos:
í

Resposta

A série de Fourier da função é:

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