Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a série de Fourier da função
que é definida por:
Isso envolve decompor a função em uma soma de senos e cossenos. Para fazer isso, vamos precisar usar as fórmulas das séries de Fourier para funções periódicas com período
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica de período
é dada por:
Aqui,
é o termo constante, e
e
são os coeficientes dos cossenos e senos, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
, que é dado por:
Como a função é diferente em
e
, vamos dividir a integral:
Passo 4
Calculando as integrais separadamente:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Dividindo a integral:
Passo 6
Usamos a fórmula do produto de cossenos:
Então,
Calculando essas integrais:
Após calcular e simplificar, percebemos que esses termos se anulam devido à simetria, resultando em
para todos
.
Passo 7
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Dividindo a integral:
Passo 8
Usamos as fórmulas de produtos trigonométricos:
Calculando as integrais e simplificando, obtemos:
Resposta
A série de Fourier da função
é:
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Mostre que a sequência
converge e obtenha o seu limite.
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
l)
l)
Qual dos pontos abaixo está mais próximo do plano
?
Mostre que a série
converge e obtenha o seu valor.