Mostre que a sequência cos(n)/n^2 converge e obtenha o seu limite.

Passo 1

Então, a gente tem uma sequência que é cos(n)/n^2 e a tarefa aqui é provar que essa sequência converge, ou seja, que ela chega a um valor específico conforme cresce, e também descobrir qual é esse valor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência converge para um limite se, à medida que aumenta, os termos se aproximam cada vez mais de . No nosso caso, queremos mostrar que se aproxima de algum número quando tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. Sabemos que a função cosseno, , sempre está entre -1 e 1 para qualquer valor de . Isso significa que:

Passo 4

O denominador, , cresce sem parar conforme aumenta. Ou seja, tende ao infinito quando tende ao infinito:

Passo 5

Agora, vamos combinar essas duas informações. Sabemos que está limitado entre -1 e 1, e cresce para o infinito. Vamos dividir essa desigualdade por :

Passo 6

Vamos calcular os limites das extremidades dessa desigualdade quando tende ao infinito:

Passo 7

Como está sempre entre e , e ambos os limites extremos são 0, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), podemos concluir que:

Resposta

A sequência converge, e o seu limite é 0.

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