Mostre que a sequência
converge e obtenha o seu limite.
Passo 1
Então, a gente tem uma sequência que é
e a tarefa aqui é provar que essa sequência converge, ou seja, que ela chega a um valor específico conforme
cresce, e também descobrir qual é esse valor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência
converge para um limite
se, à medida que
aumenta, os termos
se aproximam cada vez mais de
. No nosso caso, queremos mostrar que
se aproxima de algum número
quando
tende ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. Sabemos que a função cosseno,
, sempre está entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Isso significa que:
Passo 4
O denominador,
, cresce sem parar conforme
aumenta. Ou seja,
tende ao infinito quando
tende ao infinito:
Passo 5
Agora, vamos combinar essas duas informações. Sabemos que
está limitado entre -1 e 1, e
cresce para o infinito. Vamos dividir essa desigualdade por
:
Passo 6
Vamos calcular os limites das extremidades dessa desigualdade quando
tende ao infinito:
Passo 7
Como
está sempre entre
e
, e ambos os limites extremos são 0, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), podemos concluir que:
Resposta
A sequência
converge, e o seu limite é 0.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
l)
l)
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Qual dos pontos abaixo está mais próximo do plano
?