Encontre a série de Fourier da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função dada:
Aqui, estamos trabalhando com séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para
é:
Vamos substituir
:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que são os coeficientes dos termos de cosseno na série de Fourier. A fórmula para
é:
Substituindo
:
A segunda integral é zero, então:
Vamos resolver essa integral:
Sabendo que
e
para todo inteiro
, temos:
Passo 4
Por fim, vamos calcular os coeficientes
, que são os coeficientes dos termos de seno na série de Fourier. A fórmula para
é:
Substituindo
:
A segunda integral é zero, então:
Resolvendo a integral:
Sabendo que
, temos:
Resposta
A série de Fourier da função
é dada por:
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Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
e)
e)
Seja
uma função periódica de período
. Mostre que a função
é perí0dica ( de período
) se e somente se
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
g)
g)
Encontre a série de Fourier da função dada.