Calcule os seguintes limites ou explique por que ele não existe.
lim (x, y) (0,0) 2 x^2 yx^2+y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite da função quando o ponto se aproxima de . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites em funções de várias variáveis e verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Uma maneira comum de analisar esse tipo de limite é verificar se ele possui o mesmo valor ao se aproximar de por diferentes caminhos. Se os limites forem iguais para todos os caminhos possíveis, então o limite geral existe e é igual a esse valor. Caso contrário, o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar escolhendo o primeiro caminho para nos aproximarmos de 2 x^2 cdot 0x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0 . Um caminho simples é ao longo do eixo , ou seja, fixando .
Substituindo na função:
Então, o limite ao longo do eixo é .

Passo 4

Agora, vamos escolher um segundo caminho, por exemplo, ao longo da linha 2 x^2 cdot xx^2 + x^2 = 2 x^32 x^2 = x .
Substituindo limx to 0 x = 0 na função:
Calculando o limite quando tende a :
Portanto, o limite ao longo da linha também é .

Passo 5

Vamos tentar um terceiro caminho, como 2 x^2 cdot x^2x^2 + x^4 = 2 x^4x^2(1 + x^2) = 2 x^21 + x^2 .
Substituindo limx to 0 2 x^21 + x^2 = 0 na função:
Calculando o limite quando tende a :
Assim, o limite ao longo do caminho também é .

Passo 6

Por fim, vamos analisar o limite utilizando coordenadas polares, onde 2 x^2 yx^2+y^2 = 2 (r cos theta)^2 (r sin theta)r^2 = 2 r cos^2 theta sin theta e limr to 0 2 r cos^2 theta sin theta = 0 . Isso nos ajuda a verificar se o limite depende do ângulo .
Substituindo na função:
Agora, ao calcular o limite quando tende a :
Isso mostra que, independentemente do ângulo , o limite é sempre .

Resposta

lim (x, y) (0,0) 2 x^2 yx^2+y^2 = 0

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