Calcule os seguintes limites ou explique por que ele não existe.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites em funções de várias variáveis e verificar se o limite existe ou não.
Passo 2
Uma maneira comum de analisar esse tipo de limite é verificar se ele possui o mesmo valor ao se aproximar de
por diferentes caminhos. Se os limites forem iguais para todos os caminhos possíveis, então o limite geral existe e é igual a esse valor. Caso contrário, o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar escolhendo o primeiro caminho para nos aproximarmos de
. Um caminho simples é ao longo do eixo
, ou seja, fixando
.
Substituindo
na função:
Então, o limite ao longo do eixo
é
.
Passo 4
Agora, vamos escolher um segundo caminho, por exemplo, ao longo da linha
.
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
tende a
:
Portanto, o limite ao longo da linha
também é
.
Passo 5
Vamos tentar um terceiro caminho, como
.
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
tende a
:
Assim, o limite ao longo do caminho
também é
.
Passo 6
Por fim, vamos analisar o limite utilizando coordenadas polares, onde
e
. Isso nos ajuda a verificar se o limite depende do ângulo
.
Substituindo na função:
Agora, ao calcular o limite quando
tende a
:
Isso mostra que, independentemente do ângulo
, o limite é sempre
.
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função
Seja
, se
e
.
é contínua em todos os pontos?
Calcule os seguintes limites ou explique por que ele não existe.
Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função