Seja , se e . é contínua em todos os pontos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função quando e . A questão é saber se essa função é contínua em todos os pontos. Vamos usar o conteúdo de continuidade de funções de duas variáveis para resolver isso. Precisaremos verificar se o limite de quando se aproxima de algum ponto é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que para qualquer ponto que não seja , a função está bem definida porque o denominador não é zero. Então, a continuidade nesses pontos depende apenas do fato de que as funções polinomiais são contínuas, e o quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não é zero. Ou seja, é contínua em todos os pontos diferentes de .

Passo 3

O ponto delicado é . Para ser contínua em , precisamos que:
Vamos calcular esse limite para ver se ele realmente �� igual a zero.

Passo 4

Vamos tentar calcular o limite usando coordenadas polares. Isso facilita porque transforma em , onde é a distância ao ponto e é o ângulo.
Substituindo na função:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de quando :
Como , . Portanto, independente do ângulo , o limite de quando é zero.

Resposta

Sim, a função com é contínua em todos os pontos.

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