Seja
, se
e
.
é contínua em todos os pontos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
quando
e
. A questão é saber se essa função é contínua em todos os pontos. Vamos usar o conteúdo de continuidade de funções de duas variáveis para resolver isso. Precisaremos verificar se o limite de
quando
se aproxima de algum ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que para qualquer ponto
que não seja
, a função
está bem definida porque o denominador
não é zero. Então, a continuidade nesses pontos depende apenas do fato de que as funções polinomiais são contínuas, e o quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não é zero. Ou seja,
é contínua em todos os pontos
diferentes de
.
Passo 3
O ponto delicado é
. Para
ser contínua em
, precisamos que:
Vamos calcular esse limite para ver se ele realmente �� igual a zero.
Passo 4
Vamos tentar calcular o limite usando coordenadas polares. Isso facilita porque transforma
em
, onde
é a distância ao ponto
e
é o ângulo.
Substituindo na função:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
:
Como
,
. Portanto, independente do ângulo
, o limite de
quando
é zero.
Resposta
Sim, a função
com
é contínua em todos os pontos.
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