Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função . Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa na matemática, especialmente no contexto de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada possíveis (neste caso, os valores de e ) para os quais a função está definida. Olhando para , vemos que podemos elevar qualquer número real ao quadrado sem problemas, porque o quadrado de um número real sempre dá outro número real. Portanto, não há restrições para e .

Passo 3

Agora, vamos ao gráfico da função. A função representa uma superfície no espaço tridimensional. Essa superfície é conhecida como paraboloide circular. Imagine um paraboloide como um prato raso que se abre para cima, onde cada ponto no prato corresponde a um par de valores e a altura é dada por .

Passo 4

Por último, vamos entender as curvas de nível. Curvas de nível são as curvas onde a função assume um valor constante. Se fixarmos , onde é uma constante, temos a equação:
Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem . Assim, para cada valor de , a curva de nível é um círculo diferente, todos concêntricos entre si.

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais para e )
  • Gráfico: Paraboloide circular no espaço tridimensional
  • Curvas de Nível: Círculos concêntricos dados por

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