Calcule os seguintes limites ou explique por que ele não existe.
lim (x, y) (0,0) x y^4x^2+y^8

Passo 1

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis. Precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo independentemente do caminho que escolhemos para chegar a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para existir o limite em , o valor da função deve ser o mesmo ao se aproximar de por qualquer caminho. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que resultam em valores de limite diferentes, podemos concluir que o limite não existe.

Passo 3

Vamos examinar o limite ao longo do eixo limy to 0 0 cdot y^40^2 + y^8 = limy to 0 0 = 0 :
limx to 0 x cdot (x^1/4)^4x^2 + (x^1/4)^8 = limx to 0 x cdot xx^2 + x^2 = limx to 0 x^22x^2 = 12
Agora, vamos examinar o limite ao longo do caminho :

Resposta

Como obtivemos limites diferentes ( e ) ao se aproximar de por caminhos distintos, o limite não existe.

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