Calcule os seguintes limites ou explique por que ele não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
. O enunciado pede para calcular:
Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente técnicas para encontrar limites de funções de várias variáveis. Precisamos analisar como a função se comporta quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos testar o limite ao longo de alguns caminhos simples para ver se o resultado muda dependendo da direção de aproximação.
Caminho 1:
O limite ao longo deste caminho é 0.
Caminho 2:
Novamente, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos escolher um caminho onde
depende de
. Vamos supor
, onde
é uma constante.
Substituindo na função:
O limite depende do valor de
. Por exemplo:
- Se
: - Se
:
Vemos que diferentes caminhos (
) resultam em limites diferentes.
Resposta
Como o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de
, o limite
não existe.
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