Calcule os seguintes limites ou explique por que ele não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e . O enunciado pede para calcular:
Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente técnicas para encontrar limites de funções de várias variáveis. Precisamos analisar como a função se comporta quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos testar o limite ao longo de alguns caminhos simples para ver se o resultado muda dependendo da direção de aproximação.
Caminho 1:
O limite ao longo deste caminho é 0.
Caminho 2:
Novamente, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher um caminho onde depende de . Vamos supor , onde é uma constante.
Substituindo na função:
O limite depende do valor de . Por exemplo:
  • Se :
  • Se :
Vemos que diferentes caminhos ( ) resultam em limites diferentes.

Resposta

Como o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de , o limite não existe.

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