Calcule os seguintes limites ou explique por que ele não existe.
Passo 1
Vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Esse problema envolve limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
, onde
e
. Isso ajuda a simplificar a expressão quando
tende a 0.
Passo 3
Substituindo
e
na função, temos:
Passo 4
Simplificando o denominador:
Passo 5
Agora, a expressão da função fica:
Passo 6
Sabemos que, quando
tende a 0,
. Então, para
pequeno, temos:
Passo 7
Substituindo essa aproximação na função:
Passo 8
Agora, calculando o limite quando
tende a 0:
Resposta
O limite é 0.
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Seja
, se
e
.
é contínua em todos os pontos?