Calcule os seguintes limites ou explique por que ele não existe.
lim (x, y) (0,0) x^2 sen 2 yx^2+2 y^2

Passo 1

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Esse problema envolve limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares , onde e . Isso ajuda a simplificar a expressão quando tende a 0.

Passo 3

Substituindo x^2 sin 2yx^2 + 2 y^2 = (r costheta)^2 sin(2 r sintheta)(r costheta)^2 + 2 (r sintheta)^2 = r^2 cos^2theta cdot sin(2 r sintheta)r^2 cos^2theta + 2 r^2 sin^2theta e na função, temos:

Passo 4

Simplificando o denominador:
r^2 cos^2theta + 2 r^2 sin^2theta = r^2 (cos^2theta + 2 sin^2theta) = r^2 (1 + sin^2theta)

Passo 5

Agora, a expressão da função fica:
r^2 cos^2theta cdot sin(2 r sintheta)r^2 (1 + sin^2theta) = cos^2theta cdot sin(2 r sintheta)1 + sin^2theta

Passo 6

Sabemos que, quando sin(2 r sintheta) approx 2 r sintheta tende a 0, . Então, para pequeno, temos:

Passo 7

Substituindo essa aproximação na função:
cos^2theta cdot 2 r sintheta1 + sin^2theta = 2 r cos^2theta sintheta1 + sin^2theta

Passo 8

Agora, calculando o limite quando limr to 0 2 r cos^2theta sintheta1 + sin^2theta = 2 cdot 0 cdot cos^2theta sintheta1 + sin^2theta = 0 tende a 0:

Resposta

O limite é 0.

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