Calcule os seguintes limites ou explique por que ele não existe.

Passo 1

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Esse problema envolve limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares , onde e . Isso ajuda a simplificar a expressão quando tende a 0.

Passo 3

Substituindo e na função, temos:

Passo 4

Simplificando o denominador:

Passo 5

Agora, a expressão da função fica:

Passo 6

Sabemos que, quando tende a 0, . Então, para pequeno, temos:

Passo 7

Substituindo essa aproximação na função:

Passo 8

Agora, calculando o limite quando tende a 0:

Resposta

O limite é 0.

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