Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função
. Isso está dentro da área de funções de duas variáveis da matemática, mais especificamente lidando com raízes quadradas e análise gráfica. Vamos precisar entender como determinar onde a função é válida (domínio), como ela se comporta visualmente (gráfico) e quais são suas curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então,
. Mas, como qualquer soma de quadrados é sempre positiva ou zero, isso significa que a função está definida para todos os reais de
e
.
Passo 3
Agora, vamos para o gráfico da função
. Essa função calcula a distância de um ponto
até a origem
. Geometricamente, isso descreve uma superfície chamada cone circular no espaço tridimensional, onde a altura
do cone em cada ponto
é igual à distância desse ponto à origem.
Passo 4
Por último, vamos encontrar as curvas de nível da função. As curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função assume um valor constante
. Então, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos:
Essa é a equação de um círculo com raio
e centrado na origem. Isso significa que para cada valor
, a curva de nível é um círculo de raio
.
Resposta
- Domínio: Todos os números reais
e , ou seja, . - Gráfico: Um cone circular no espaço tridimensional.
- Curvas de nível: Círculos de raio
centrados na origem para cada .
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Calcule os seguintes limites ou explique por que ele não existe.
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