Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função . Isso está dentro da área de funções de duas variáveis da matemática, mais especificamente lidando com raízes quadradas e análise gráfica. Vamos precisar entender como determinar onde a função é válida (domínio), como ela se comporta visualmente (gráfico) e quais são suas curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, . Mas, como qualquer soma de quadrados é sempre positiva ou zero, isso significa que a função está definida para todos os reais de e .

Passo 3

Agora, vamos para o gráfico da função . Essa função calcula a distância de um ponto até a origem . Geometricamente, isso descreve uma superfície chamada cone circular no espaço tridimensional, onde a altura do cone em cada ponto é igual à distância desse ponto à origem.

Passo 4

Por último, vamos encontrar as curvas de nível da função. As curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante . Então, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos:
Essa é a equação de um círculo com raio e centrado na origem. Isso significa que para cada valor , a curva de nível é um círculo de raio .

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais e , ou seja, .
  • Gráfico: Um cone circular no espaço tridimensional.
  • Curvas de nível: Círculos de raio centrados na origem para cada .

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Calcule os seguintes limites ou explique por que ele não existe.
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