Calcule os seguintes limites ou explique por que ele não existe.
lim (x, y) (0,0) x y cos y3 x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , que estão se aproximando de . O conteúdo principal aqui são limites multivariáveis. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e a teoria do limite para duas variáveis. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares porque facilita analisar o comportamento quando x = r cos theta e y = r sin theta se aproxima de . Nas coordenadas polares, temos:
onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 3

Substituindo x y cos y3 x^2+y^2 = (r cos theta)(r sin theta) cos(r sin theta)3 (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 e = r^2 cos theta sin theta cos(r sin theta)3 r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta na expressão do limite:
= r^2 cos theta sin theta cos(r sin theta)r^2 (3 cos^2 theta + sin^2 theta)
Simplificando:
= cos theta sin theta cos(r sin theta)3 cos^2 theta + sin^2 theta
Cancelando :

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando cos theta sin theta cdot 13 cos^2 theta + sin^2 theta = cos theta sin theta3 cos^2 theta + sin^2 theta . Sabemos que tende a quando . Então, a expressão fica:
Note que essa expressão depende apenas de , mas queremos que o limite seja o mesmo para qualquer caminho que siga ao se aproximar de .

Passo 5

Mesmo com a expressão dependendo de |cos theta sin theta| <= 12 , vamos ver se ela tende a um valor único. Observe que e são limitados entre -1 e 1. Então, o numerador é limitado por:
E o denominador é sempre positivo e pelo menos igual a , que também é limitado.

Passo 6

Como lim (x, y) (0,0) x y cos y3 x^2+y^2 = 0 , a contribuição de desaparece na expressão original, e o limite depende somente de termos constantes ou que vão a zero. Portanto, o limite geral da expressão é:

Resposta

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