Calcule os seguintes limites ou explique por que ele não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, que estão se aproximando de
. O conteúdo principal aqui são limites multivariáveis. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e a teoria do limite para duas variáveis. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares porque facilita analisar o comportamento quando
se aproxima de
. Nas coordenadas polares, temos:
onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Passo 3
Substituindo
e
na expressão do limite:
Simplificando:
Cancelando
:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite quando
. Sabemos que
tende a
quando
. Então, a expressão fica:
Note que essa expressão depende apenas de
, mas queremos que o limite seja o mesmo para qualquer caminho que
siga ao se aproximar de
.
Passo 5
Mesmo com a expressão dependendo de
, vamos ver se ela tende a um valor único. Observe que
e
são limitados entre -1 e 1. Então, o numerador é limitado por:
E o denominador é sempre positivo e pelo menos igual a
, que também é limitado.
Passo 6
Como
, a contribuição de
desaparece na expressão original, e o limite depende somente de termos constantes ou que vão a zero. Portanto, o limite geral da expressão é:
Resposta
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