Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis, ou seja, funções que dependem de
e
. Vamos precisar entender o que significa o domínio de uma função, como visualizar o gráfico dessa função no espaço tridimensional e o que são curvas de nível.
Passo 2
Dominio da função
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é basicamente o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida.
A função cosseno,
, está definida para todo número real
. Isso significa que não há restrições sobre os valores que
pode assumir. Além disso, na nossa função
, o
não aparece no cálculo do cosseno, então ele também pode ser qualquer número real.
Portanto, o domínio de
é
, ou seja, todos os pares de números reais
.
Passo 3
Gráfico da função
Agora, vamos visualizar o gráfico dessa função. Como
depende apenas de
, isso significa que para cada valor fixo de
, o valor de
é constante em relação a
.
Imagine o eixo
indo de -∞ a +∞ e o eixo
também indo de -∞ a +∞, com o eixo
representando o valor de
. O gráfico será uma superfície que oscila verticalmente conforme o valor de
, mas se estende indefinidamente na direção de
. É como se tivéssemos várias “ondas” paralelas ao eixo
.
Passo 4
Curvas de nível da função
Curvas de nível são as curvas no plano
onde a função assume um valor constante. Para encontrar as curvas de nível, definimos
, onde
é uma constante.
No nosso caso:
Isso significa que para cada valor de
entre -1 e 1, a equação define valores específicos de
. Como
não aparece na equação, isso implica que para cada solução de
,
pode ser qualquer número real.
Assim, as curvas de nível são linhas paralelas ao eixo
em posições onde
satisfaz
.
Resposta
- Domínio: Todos os pares
reais, ou seja, . - Gráfico: Uma superfície ondulada ao longo do eixo
que se estende infinitamente na direção de . - Curvas de nível: Linhas paralelas ao eixo
localizadas nos pontos onde satisfaz , para cada constante em .
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