Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função . Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis, ou seja, funções que dependem de e . Vamos precisar entender o que significa o domínio de uma função, como visualizar o gráfico dessa função no espaço tridimensional e o que são curvas de nível.

Passo 2

Dominio da função
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é basicamente o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida.
A função cosseno, , está definida para todo número real . Isso significa que não há restrições sobre os valores que pode assumir. Além disso, na nossa função , o não aparece no cálculo do cosseno, então ele também pode ser qualquer número real.
Portanto, o domínio de é , ou seja, todos os pares de números reais .

Passo 3

Gráfico da função
Agora, vamos visualizar o gráfico dessa função. Como depende apenas de , isso significa que para cada valor fixo de , o valor de é constante em relação a .
Imagine o eixo indo de -∞ a +∞ e o eixo também indo de -∞ a +∞, com o eixo representando o valor de . O gráfico será uma superfície que oscila verticalmente conforme o valor de , mas se estende indefinidamente na direção de . É como se tivéssemos várias “ondas” paralelas ao eixo .

Passo 4

Curvas de nível da função
Curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume um valor constante. Para encontrar as curvas de nível, definimos , onde é uma constante.
No nosso caso:
Isso significa que para cada valor de entre -1 e 1, a equação define valores específicos de . Como não aparece na equação, isso implica que para cada solução de , pode ser qualquer número real.
Assim, as curvas de nível são linhas paralelas ao eixo em posições onde satisfaz .

Resposta

  • Domínio: Todos os pares reais, ou seja, .
  • Gráfico: Uma superfície ondulada ao longo do eixo que se estende infinitamente na direção de .
  • Curvas de nível: Linhas paralelas ao eixo localizadas nos pontos onde satisfaz , para cada constante em .

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