Calcule os seguintes limites:
g) lim x -2 tan pi xx+2

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício trabalha com limites, um conceito fundamental em Cálculo, especialmente quando lidamos com expressões que se tornam indeterminadas. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os limites e a Regra de L’Hospital para casos de indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece ao substituir tan (pi cdot (-2))-2 + 2 = tan (-2pi)0 na expressão do limite:
00
Sabemos que (pois a tangente de múltiplos inteiros de é zero). Portanto, temos:
Isso é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos aplicar a Regra de L’Hospital para resolver o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hospital nos diz que se o limite limx to a f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos calcular:
Nesse caso, e .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de f'(x) = pi sec^2(pi x) e g'(x) = 1 :
  • Derivada de :
(Usamos a regra da cadeia, onde a derivada de é ).
  • Derivada de :

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hospital:
lim x -2 tan (pi x)x+2 = lim x -2 pi sec^2(pi x)1
Simplificando:
lim x -2 pi sec^2(pi x)

Passo 6

Agora, substituímos pi sec^2(pi cdot (-2)) = pi sec^2(-2pi) na expressão:
pi cdot (1)^2 = pi
Sabemos que , então:

Resposta

O limite é igual a .

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a) sumk=1^infty(14)^k
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