Calcule os seguintes limites:
g)
g)
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse exercício trabalha com limites, um conceito fundamental em Cálculo, especialmente quando lidamos com expressões que se tornam indeterminadas. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os limites e a Regra de L’Hospital para casos de indeterminação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece ao substituir
na expressão do limite:
Sabemos que
(pois a tangente de múltiplos inteiros de
é zero). Portanto, temos:
Isso é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos aplicar a Regra de L’Hospital para resolver o limite.
Passo 3
A Regra de L’Hospital nos diz que se o limite
resulta em
ou
, então podemos calcular:
Nesse caso,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas de
e
:
- Derivada de
:
(Usamos a regra da cadeia, onde a derivada de
é
).
- Derivada de
:
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hospital:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão:
Sabemos que
, então:
Resposta
O limite é igual a
.
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a)
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b)
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b)
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а)
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