Encontre o valor exato das quatro primeiras somas parciais, encontre a forma fechada para a enésima soma parcial e determine se a série converge. Se ela convergir, determine sua soma.
a) sumk=1^infty(14)^k

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as quatro primeiras somas parciais da série sumk=1^infty(14)^k, além de determinar uma expressão geral para a enésima soma parcial e verificar se a série converge. Se convergir, também vamos encontrar o valor da soma. Para isso, vamos usar o conteúdo de Séries Geométricas e aplicar fórmulas específicas para somas parciais e somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as quatro primeiras somas parciais da série. A soma parcial Sn de uma série geométrica é a soma dos primeiros n termos.
A fórmula para a soma parcial de uma série geométrica é:
Sn = a(1 - r^n)1 - r
onde:
  • a é o primeiro termo da série,
  • r é a razão da série,
  • n é o número de termos que queremos somar.
Para a série dada, temos:
  • a = (14)^1 = 14
  • r = 14
Vamos calcular cada soma parcial:
Soma Parcial 1 ( S1):
S1 = 14 (1 - (14)^1)1 - 14 = 14 (1 - 14)34 = 14 times 3434 = 316 times 43 = 14
Soma Parcial 2 ( S2):
S2 = 14 (1 - (14)^2)1 - 14 = 14 (1 - 116)34 = 14 times 151634 = 1564 times 43 = 1548 = 516
Soma Parcial 3 ( S3):
S3 = 14 (1 - (14)^3)1 - 14 = 14 (1 - 164)34 = 14 times 636434 = 63256 times 43 = 63192 = 2164
Soma Parcial 4 ( S4):
S4 = 14 (1 - (14)^4)1 - 14 = 14 (1 - 1256)34 = 14 times 25525634 = 2551024 times 43 = 255768 = 85256

Passo 3

Agora, vamos encontrar a forma fechada para a enésima soma parcial Sn. Usando a mesma fórmula mencionada anteriormente:
Sn = a(1 - r^n)1 - r
Substituindo os valores de a e r:
Sn = 14 (1 - (14)^n)1 - 14 = 14 (1 - (14)^n)34 = 13 (1 - (14)^n)
Portanto, a forma fechada para a enésima soma parcial é:
Sn = 13 (1 - (14)^n)

Passo 4

Para verificar se a série converge, analisamos o valor de r. Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto de r for menor que 1, ou seja, |r| < 1.
No nosso caso:
|14| = 14 < 1
Então, a série converge.
Para encontrar a soma da série infinita, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Substituindo os valores:
S = 141 - 14 = 1434 = 13

Resposta

As quatro primeiras somas parciais são S1 = 14, S2 = 516, S3 = 2164 e S4 = 85256. A forma fechada para a enésima soma parcial é Sn = 13 (1 - (14)^n). A série converge e sua soma é 13.

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