Encontre o valor exato das quatro primeiras somas parciais, encontre a forma fechada para a enésima soma parcial e determine se a série converge. Se ela convergir, determine sua soma.
a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as quatro primeiras somas parciais da série , além de determinar uma expressão geral para a enésima soma parcial e verificar se a série converge. Se convergir, também vamos encontrar o valor da soma. Para isso, vamos usar o conteúdo de Séries Geométricas e aplicar fórmulas específicas para somas parciais e somas infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as quatro primeiras somas parciais da série. A soma parcial de uma série geométrica é a soma dos primeiros termos.
A fórmula para a soma parcial de uma série geométrica é:
onde:
é o primeiro termo da série,
é a razão da série,
é o número de termos que queremos somar.
Para a série dada, temos:
Vamos calcular cada soma parcial:
Soma Parcial 1 ():
Soma Parcial 2 ():
Soma Parcial 3 ():
Soma Parcial 4 ():
Passo 3
Agora, vamos encontrar a forma fechada para a enésima soma parcial . Usando a mesma fórmula mencionada anteriormente:
Substituindo os valores de e :
Portanto, a forma fechada para a enésima soma parcial é:
Passo 4
Para verificar se a série converge, analisamos o valor de . Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso:
Então, a série converge.
Para encontrar a soma da série infinita, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Substituindo os valores:
S = 141 - 14 = 1434 = 13
Resposta
As quatro primeiras somas parciais são S1 = 14, S2 = 516, S3 = 2164 e S4 = 85256. A forma fechada para a enésima soma parcial é Sn = 13 (1 - (14)^n). A série converge e sua soma é 13.