Encontre o valor exato das quatro primeiras somas parciais, encontre a forma fechada para a enésima soma parcial e determine se a série converge. Se ela convergir, determine sua soma.
b)
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série infinita
. Precisamos encontrar os quatro primeiros termos dessa série, descobrir uma fórmula geral para a soma dos
primeiros termos (soma parcial), e determinar se a série converge. Se ela convergir, também vamos encontrar seu valor.
Matéria envolvida: Séries geométricas.
O que vamos precisar: Conhecer a fórmula das somas parciais de uma série geométrica e entender os critérios de convergência para esse tipo de série.
Passo 2
Vamos começar calculando as quatro primeiras somas parciais da série.
A série é
, então os termos são:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Agora, vamos somar esses termos para encontrar as somas parciais.
Passo 3
Calculando as somas parciais:
-
Primeira soma parcial (
): -
Segunda soma parcial (
): -
Terceira soma parcial (
): -
Quarta soma parcial (
):
Passo 4
Agora, vamos encontrar a forma fechada para a soma parcial da enésima soma (
). Observamos que estamos lidando com uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.
A fórmula para a soma dos
primeiros termos de uma série geométrica é:
onde:
-
é o primeiro termo da série, -
é a razão comum, -
é o número de termos.
No nosso caso, o primeiro termo
e a razão
.
Substituindo esses valores na fórmula:
Então, a forma fechada para a soma parcial é:
Passo 5
Por fim, precisamos determinar se a série
converge.
Para uma série geométrica com razão
, a série converge se
. Se
, a série não converge.
No nosso caso, a razão
, e
. Portanto, a série não converge.
Resposta
A série
não converge.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
g)
g)
Encontre o valor exato das quatro primeiras somas parciais, encontre a forma fechada para a enésima soma parcial e determine se a série converge. Se ela convergir, determine sua soma.
a)
a)
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
а)
а)
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
b)
b)