Encontre o valor exato das quatro primeiras somas parciais, encontre a forma fechada para a enésima soma parcial e determine se a série converge. Se ela convergir, determine sua soma.
b) sumk=1^infty(4)^k-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série infinita . Precisamos encontrar os quatro primeiros termos dessa série, descobrir uma fórmula geral para a soma dos primeiros termos (soma parcial), e determinar se a série converge. Se ela convergir, também vamos encontrar seu valor.
Matéria envolvida: Séries geométricas.
O que vamos precisar: Conhecer a fórmula das somas parciais de uma série geométrica e entender os critérios de convergência para esse tipo de série.

Passo 2

Vamos começar calculando as quatro primeiras somas parciais da série.
A série é , então os termos são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Agora, vamos somar esses termos para encontrar as somas parciais.

Passo 3

Calculando as somas parciais:
  • Primeira soma parcial ( S1 = 1 ):
    S2 = 1 + 4 = 5
  • Segunda soma parcial ( S3 = 1 + 4 + 16 = 21 ):
    S4 = 1 + 4 + 16 + 64 = 85
  • Terceira soma parcial ( ):
  • Quarta soma parcial ( ):

Passo 4

Agora, vamos encontrar a forma fechada para a soma parcial da enésima soma ( Sn = a cdot r^n - 1r - 1 ). Observamos que estamos lidando com uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.
A fórmula para a soma dos Sn = 1 cdot 4^n - 14 - 1 = 4^n - 13 primeiros termos de uma série geométrica é:
Sn = 4^n - 13
onde:
  • é o primeiro termo da série,
  • é a razão comum,
  • é o número de termos.
No nosso caso, o primeiro termo e a razão .
Substituindo esses valores na fórmula:
Então, a forma fechada para a soma parcial é:

Passo 5

Por fim, precisamos determinar se a série converge.
Para uma série geométrica com razão , a série converge se . Se , a série não converge.
No nosso caso, a razão , e . Portanto, a série não converge.

Resposta

A série não converge.

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Calcule os seguintes limites:
g) lim x -2 tan pi xx+2
Encontre o valor exato das quatro primeiras somas parciais, encontre a forma fechada para a enésima soma parcial e determine se a série converge. Se ela convergir, determine sua soma.
a) sumk=1^infty(14)^k
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
а) sumk=1^infty(23)^k+2
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
b) sumk=1^infty(12^k-12^k+1)