Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
d.
.
d.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função
. O conteúdo envolvido inclui funções matemáticas, especialmente envolvendo frações e raízes quadradas. Para resolver qualquer análise ou problema relacionado a essa função, vamos precisar entender como trabalhar com essas expressões matemáticas, verificar o domínio da função, e talvez explorar seu comportamento, como crescimento ou decrescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Passo 3
Analisando
, temos duas partes:
-
: Aqui, o denominador não pode ser zero, então . -
: A raiz quadrada só está definida para .
Passo 4
Juntando essas duas condições, o valor de
deve ser maior que zero, ou seja,
. Porque se
,
não existe, e para
,
não é um número real.
Passo 5
Portanto, o domínio da função
é
.
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento da função. Isso envolve ver como
se comporta quando
aumenta ou diminui dentro do domínio.
Passo 7
Observando
:
- Quando
cresce (fica muito grande), tende a zero, e cresce sem limites. - Quando
se aproxima de zero pelo lado positivo, tende ao infinito, e tende a zero.
Passo 8
Isso significa que:
- Para
muito grande, fica cada vez maior, dominado por . - Para
próximo de zero, fica muito grande devido ao termo .
Passo 9
Se quisermos, podemos calcular a derivada de
para verificar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Passo 10
A derivada de
em relação a
é:
Simplificando:
Passo 11
Para encontrar pontos críticos, igualamos
a zero:
Passo 12
Resolvendo para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Como
, desconsideramos
e temos
.
Passo 13
Então, a função
tem um ponto crítico em
. Para saber se é um mínimo ou máximo, podemos analisar os intervalos ao redor desse ponto usando a derivada.
Passo 14
Para
(por exemplo,
):
A derivada é negativa, então a função está decrescendo.
Para
(por exemplo,
):
A derivada é positiva, então a função está crescendo.
Passo 15
Isso significa que em
, a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.
Passo 16
Calculando o valor mínimo da função:
Resposta
O domínio da função
é
. A função possui um mínimo local em
, onde
.
Exercícios relacionados
Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
e. .
e.
Equações de cônicas são muito comuns na geometria analítica. Esboce detalhadamente o lugar geométrico das seguintes cônicas no plano real, usando as propriedades de simetria das mesmas e um gráfico definido localmente (isto é, um c. A parábola
. 1 .
Equações de cônicas são muito comuns na geometria analítica. Esboce detalhadamente o lugar geométrico das seguintes cônicas no plano real, usando as propriedades de simetria das mesmas e um gráfico definido localmente (isto é, um a. A elipse
.
Calcule os seguintes limites:
h. .
h.