Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
d. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função . O conteúdo envolvido inclui funções matemáticas, especialmente envolvendo frações e raízes quadradas. Para resolver qualquer análise ou problema relacionado a essa função, vamos precisar entender como trabalhar com essas expressões matemáticas, verificar o domínio da função, e talvez explorar seu comportamento, como crescimento ou decrescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.

Passo 3

Analisando , temos duas partes:
  1. : Aqui, o denominador não pode ser zero, então .
  2. : A raiz quadrada só está definida para .

Passo 4

Juntando essas duas condições, o valor de deve ser maior que zero, ou seja, . Porque se , não existe, e para , não é um número real.

Passo 5

Portanto, o domínio da função é .

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento da função. Isso envolve ver como se comporta quando aumenta ou diminui dentro do domínio.

Passo 7

Observando :
  • Quando cresce (fica muito grande), tende a zero, e cresce sem limites.
  • Quando se aproxima de zero pelo lado positivo, tende ao infinito, e tende a zero.

Passo 8

Isso significa que:
  • Para muito grande, fica cada vez maior, dominado por .
  • Para próximo de zero, fica muito grande devido ao termo .

Passo 9

Se quisermos, podemos calcular a derivada de para verificar onde a função está crescendo ou decrescendo.

Passo 10

A derivada de em relação a é:
Simplificando:

Passo 11

Para encontrar pontos críticos, igualamos a zero:

Passo 12

Resolvendo para :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Como , desconsideramos e temos .

Passo 13

Então, a função tem um ponto crítico em . Para saber se é um mínimo ou máximo, podemos analisar os intervalos ao redor desse ponto usando a derivada.

Passo 14

Para (por exemplo, ):
A derivada é negativa, então a função está decrescendo.
Para (por exemplo, ):
A derivada é positiva, então a função está crescendo.

Passo 15

Isso significa que em , a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.

Passo 16

Calculando o valor mínimo da função:

Resposta

O domínio da função é . A função possui um mínimo local em , onde .

Exercícios relacionados

Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
e. .
Equações de cônicas são muito comuns na geometria analítica. Esboce detalhadamente o lugar geométrico das seguintes cônicas no plano real, usando as propriedades de simetria das mesmas e um gráfico definido localmente (isto é, um c. A parábola . 1 .
Equações de cônicas são muito comuns na geometria analítica. Esboce detalhadamente o lugar geométrico das seguintes cônicas no plano real, usando as propriedades de simetria das mesmas e um gráfico definido localmente (isto é, um a. A elipse .
Calcule os seguintes limites:
h. .