Calcule os seguintes limites no infinito:
(f) lim x -infty(5-4 x+x^2-x^5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite no infinito da função quando tende a . Esse problema está relacionado ao estudo de limites em funções polinomiais, onde a gente analisa qual termo domina à medida que fica muito grande ou muito pequeno. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada termo afeta o resultado final quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos da função: (constante), (linear), (quadrático) e (quintico). Quando tende ao infinito ou menos infinito, os termos com maior potência (neste caso, ) são os que mais influenciam o comportamento da função. Isso porque, à medida que fica muito grande ou muito pequeno, esses termos crescem ou decrescem muito mais rapidamente do que os de menor grau.

Passo 3

Agora, focando no termo dominante limx to -infty x^5 = -infty , vamos analisar o que acontece quando limx to -infty -x^5 = +infty tende a . Sabemos que:
Multiplicando por , temos:
Isso significa que o termo está fazendo a função crescer sem limites positivos quando vai para .

Passo 4

Os outros termos, , e , apesar de influenciarem a função, tornam-se insignificantes em comparação com nesse cenário. Portanto, podemos ignorá-los para determinar o limite, já que o termo dominante ( ) determina o comportamento da função.

Resposta

lim x -infty(5 - 4x + x^2 - x^5) = +infty

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