Calcule os seguintes limites no infinito:
(a) lim x +infty(x^4+3 x+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite quando tende ao infinito da função . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites de polinômios no infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como termos de diferentes potências de se comportam quando cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da função: , e . Quando tende ao infinito, ou seja, cresce cada vez mais, termos com potências maiores de dominam sobre os de potências menores. Isso acontece porque, conforme aumenta, cresce muito mais rápido que e .

Passo 3

Vamos formalizar isso: quando calculamos o limite de um polinômio no infinito, o termo de maior grau (a maior potência de ) determina o comportamento do limite. Assim, os outros termos se tornam insignificantes comparados ao termo dominante.

Passo 4

Aplicando essa ideia à nossa função x^4 + 3x + 2 approx x^4 , percebemos que, para muito grande:
Portanto, o limite da função original será o mesmo que o limite de quando tende ao infinito.

Passo 5

Agora, calculamos o limite de limx to +infty x^4 = +infty quando vai para mais infinito:
Isso significa que conforme cresce sem limites, também cresce sem limites.

Resposta

limx +infty(x^4+3 x+2) = +infty

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