Seja f a função definida por: f(-1) = 2 e f(x) = (x^2 + x) / (x + 1), para x != -1. A função f é contínua no ponto x = -1 ? Por quê? E no ponto x = 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função que é definida de duas formas diferentes: para , a função é , e para , . Nosso objetivo aqui é verificar se essa função é contínua nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade, calcular alguns limites e comparar com os valores da função nesses pontos.

Passo 2

Vamos começar verificando a continuidade no ponto .
O que é continuidade?
Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Aplicando isso no :
Primeiro, calculamos o limite de quando se aproxima de -1.
Para :
Vamos simplificar essa expressão:
Agora, cancelamos no numerador e denominador:
Então, o limite quando se aproxima de -1 é:
Agora, comparamos com o valor da função em :
Como e , eles não são iguais. Portanto, a função não é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade no ponto .
Aplicando o mesmo conceito:
Primeiro, calculamos o limite de quando se aproxima de 0.
Para , já vimos que . Então:
Agora, comparamos com o valor da função em :
Aqui, e . Como são iguais, a função é contínua em .

Resposta

A função não é contínua no ponto porque o limite quando se aproxima de -1 é -1, diferente de . No entanto, a função é contínua no ponto já que o limite e o valor da função nesse ponto são ambos iguais a 0.

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