Seja
a função definida por:
e
, para
. A função
é contínua no ponto
? Por quê? E no ponto
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função
que é definida de duas formas diferentes: para
, a função é
, e para
,
. Nosso objetivo aqui é verificar se essa função é contínua nos pontos
e
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade, calcular alguns limites e comparar com os valores da função nesses pontos.
Passo 2
Vamos começar verificando a continuidade no ponto
.
O que é continuidade?
Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
Aplicando isso no
:
Primeiro, calculamos o limite de
quando
se aproxima de -1.
Para
:
Vamos simplificar essa expressão:
Agora, cancelamos
no numerador e denominador:
Então, o limite quando
se aproxima de -1 é:
Agora, comparamos com o valor da função em
:
Como
e
, eles não são iguais. Portanto, a função não é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade no ponto
.
Aplicando o mesmo conceito:
Primeiro, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 0.
Para
, já vimos que
. Então:
Agora, comparamos com o valor da função em
:
Aqui,
e
. Como são iguais, a função é contínua em
.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
porque o limite quando
se aproxima de -1 é -1, diferente de
. No entanto, a função é contínua no ponto
já que o limite e o valor da função nesse ponto são ambos iguais a 0.