Calcule os seguintes limites no infinito: lim x -infty raiz[3]x-raiz[5]xraiz[3]x+raiz[5]x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite da função quando tende a . Esse problema está dentro do estudo de limites no infinito, uma parte importante do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções à medida que os valores de ficam muito grandes (positiva ou negativamente). Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função e simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos começar observando as raízes da função. é a raiz cúbica de e é a raiz quinta de . Quando tende a , essas raízes também vão para , mas com taxas diferentes de crescimento.

Passo 3

Para simplificar, podemos fatorar a raiz cúbica de do numerador e do denominador. Isso nos ajuda a entender qual termo domina quando fica muito grande (ou muito pequeno, no caso de ).

Passo 4

Fatorando raiz[3]x (1 - raiz[5]xraiz[3]x)raiz[3]x (1 + raiz[5]xraiz[3]x) , temos:

Passo 5

Agora, simplificamos x^1/5x^1/3 = x^1/5 - 1/3 = x^-2/15 . Podemos reescrever as raízes em potências fracionárias:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão, temos:
raiz[3]x (1 - x^-2/15)raiz[3]x (1 + x^-2/15)

Passo 7

Cancelamos 1 - x^-2/151 + x^-2/15 no numerador e denominador:

Passo 8

Agora, quando 1 - 01 + 0 = 11 = 1 tende a , tende a 0 porque qualquer número negativo elevando a uma potência negativa tende a 0. Portanto, a expressão fica:

Resposta

O limite é igual a 1.

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