Calcule os seguintes limites no infinito:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
quando
tende a
. Esse problema está dentro do estudo de limites no infinito, uma parte importante do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções à medida que os valores de
ficam muito grandes (positiva ou negativamente). Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função e simplificar a expressão.
Passo 2
Vamos começar observando as raízes da função.
é a raiz cúbica de
e
é a raiz quinta de
. Quando
tende a
, essas raízes também vão para
, mas com taxas diferentes de crescimento.
Passo 3
Para simplificar, podemos fatorar a raiz cúbica de
do numerador e do denominador. Isso nos ajuda a entender qual termo domina quando
fica muito grande (ou muito pequeno, no caso de
).
Passo 4
Fatorando
, temos:
Passo 5
Agora, simplificamos
. Podemos reescrever as raízes em potências fracionárias:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão, temos:
Passo 7
Cancelamos
no numerador e denominador:
Passo 8
Agora, quando
tende a
,
tende a 0 porque qualquer número negativo elevando a uma potência negativa tende a 0. Portanto, a expressão fica:
Resposta
O limite é igual a 1.