(2 pontos) Determine o menor inteiro n para o qual
é um número real positivo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o menor número inteiro
tal que
seja um número real positivo. Isso envolve trabalhar com números complexos e suas potências. Para resolver isso, vamos precisar usar a forma polar dos números complexos e entender como elevar um número complexo a uma potência.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar
em forma polar. Um número complexo
pode ser escrito como
, onde
é o módulo (ou magnitude) e
é o argumento (ou ângulo).
Passo 3
Calculando o módulo
:
Passo 4
Agora, vamos achar o argumento
. Sabemos que:
Isso corresponde a um ângulo de
(30 graus).
Passo 5
Agora, a forma polar de
é:
Passo 6
Vamos elevar esse número à potência
usando a fórmula de De Moivre:
Passo 7
Para que
seja um número real positivo, a parte imaginária precisa ser zero e a parte real positiva. Ou seja:
Passo 8
A condição
ocorre quando
é múltiplo de
:
Para que
, precisamos que
seja múltiplo de
:
Passo 9
O menor inteiro positivo
que satisfaz essa condição é quando
:
Resposta
O menor inteiro
é 12.