(2 pontos) Determine o menor inteiro n para o qual (raiz(3) + i)^n é um número real positivo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o menor número inteiro tal que seja um número real positivo. Isso envolve trabalhar com números complexos e suas potências. Para resolver isso, vamos precisar usar a forma polar dos números complexos e entender como elevar um número complexo a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar em forma polar. Um número complexo pode ser escrito como , onde é o módulo (ou magnitude) e é o argumento (ou ângulo).

Passo 3

Calculando o módulo :

Passo 4

Agora, vamos achar o argumento . Sabemos que:
Isso corresponde a um ângulo de (30 graus).

Passo 5

Agora, a forma polar de é:

Passo 6

Vamos elevar esse número à potência usando a fórmula de De Moivre:

Passo 7

Para que seja um número real positivo, a parte imaginária precisa ser zero e a parte real positiva. Ou seja:

Passo 8

A condição ocorre quando é múltiplo de :
Para que , precisamos que seja múltiplo de :

Passo 9

O menor inteiro positivo que satisfaz essa condição é quando :

Resposta

O menor inteiro é 12.

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