Resolver estas equações lineares na forma
(a)
(a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial linear
. O objetivo é resolver essa equação na forma
, onde
é a solução da equação homogênea associada e
é uma solução particular. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução tem a forma
, onde
é o coeficiente de
na equação homogênea e
é uma constante.
Passo 3
Identificando os coeficientes na equação homogênea
, temos
. Portanto, a solução homogênea é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo não homogêneo é uma constante (-8), tentamos uma solução particular também constante. Portanto, assumimos:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 5
Substituímos
na equação original:
Como
é constante,
. Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução da equação diferencial
é: