Resolver estas equações lineares na forma y = y_n + y_p com y_n = y(0) e^(a t)
(a) y' - 4y = -8

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial linear . O objetivo é resolver essa equação na forma , onde é a solução da equação homogênea associada e é uma solução particular. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução tem a forma , onde é o coeficiente de na equação homogênea e é uma constante.

Passo 3

Identificando os coeficientes na equação homogênea , temos . Portanto, a solução homogênea é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo não homogêneo é uma constante (-8), tentamos uma solução particular também constante. Portanto, assumimos:
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 5

Substituímos na equação original:
Como é constante, . Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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