Encontre a equação diferencial que produz y_n(t) = e^(2t) e y_p(t) = 5(e^(8t) - 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma equação diferencial que tenha como solução geral , onde é a solução da parte homogênea e é uma solução particular. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar uma equação diferencial a partir dessas soluções. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e da solução geral delas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na solução homogênea . Sabemos que essa solução atende à equação homogênea associada à nossa equação diferencial. Se considerarmos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, ela tem a forma:
Aqui, é a segunda derivada de , é a primeira derivada, e e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos substituir na equação homogênea para encontrar as constantes e . Primeiro, calculemos as derivadas:
Substituindo na equação:
Podemos fatorar :
Como nunca é zero, temos:

Passo 4

Agora, vamos considerar a solução particular . Para que essa seja solução da equação diferencial completa, precisamos que ela satisfaça:
Onde é o termo do lado direito da equação (a forcing function). Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 5

Agora, para que seja uma solução particular, deve ser igual ao que encontramos acima. Assim, podemos reescrever como:
Isso sugere que a equação diferencial completa é:

Passo 6

Vamos lembrar da equação (1) que encontramos anteriormente:
Podemos resolver essa equação para uma das variáveis em termos da outra. Por exemplo, resolvendo para :

Passo 7

Substituindo na expressão para :

Passo 8

Para simplificar, vamos atribuir um valor que facilite a equação. Vamos escolher :
Substituindo e na expressão para :

Passo 9

Agora que temos e , podemos montar a equação diferencial completa:

Passo 10

Vamos verificar se as soluções dadas realmente satisfazem essa equação.
Para :
Está correto! Agora, para :
Também está correto! Portanto, nossa equação diferencial está certa.

Resposta

A equação diferencial que produz as soluções dadas é:

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