Encontre a equação diferencial que produz
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma equação diferencial que tenha como solução geral
, onde
é a solução da parte homogênea e
é uma solução particular. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar uma equação diferencial a partir dessas soluções. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e da solução geral delas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na solução homogênea
. Sabemos que essa solução atende à equação homogênea associada à nossa equação diferencial. Se considerarmos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, ela tem a forma:
Aqui,
é a segunda derivada de
,
é a primeira derivada, e
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Vamos substituir
na equação homogênea para encontrar as constantes
e
. Primeiro, calculemos as derivadas:
Substituindo na equação:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 4
Agora, vamos considerar a solução particular
. Para que essa seja solução da equação diferencial completa, precisamos que ela satisfaça:
Onde
é o termo do lado direito da equação (a forcing function). Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para que
seja uma solução particular,
deve ser igual ao que encontramos acima. Assim, podemos reescrever
como:
Isso sugere que a equação diferencial completa é:
Passo 6
Vamos lembrar da equação (1) que encontramos anteriormente:
Podemos resolver essa equação para uma das variáveis em termos da outra. Por exemplo, resolvendo para
:
Passo 7
Substituindo
na expressão para
:
Passo 8
Para simplificar, vamos atribuir
um valor que facilite a equação. Vamos escolher
:
Substituindo
e
na expressão para
:
Passo 9
Agora que temos
e
, podemos montar a equação diferencial completa:
Passo 10
Vamos verificar se as soluções dadas realmente satisfazem essa equação.
Para
:
Está correto! Agora, para
:
Também está correto! Portanto, nossa equação diferencial está certa.
Resposta
A equação diferencial que produz as soluções dadas é: