Para estas equaçoes que começam em
, encontrar
e
e
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
com a condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui é a de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução da equação homogênea (
) e uma solução particular (
). No final, juntamos essas duas para achar a solução completa
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução geral da equação homogênea. A equação homogênea associada é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos rearranjar os termos:
Essa é uma equação separável. Separando as variáveis, temos:
Integrando os dois lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação original. A equação é:
Como o lado direito é uma constante, vamos supor que a solução particular
também seja uma constante, digamos
. Substituindo na equação:
Isso simplifica para:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução da equação homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação original:
Passo 5
Finalmente, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor da constante
.
Substituindo
na solução geral:
Resposta
A solução completa da equação diferencial é: