Para estas equaçoes que começam em y(0) = 1, encontrar y_n(t) e yp(t) e y(t) = y_n(t) + y_p(t).
(b) y' + 9y = 90

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é com a condição inicial . A matéria que vamos usar aqui é a de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular ( ). No final, juntamos essas duas para achar a solução completa .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução geral da equação homogênea. A equação homogênea associada é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos rearranjar os termos:
Essa é uma equação separável. Separando as variáveis, temos:
Integrando os dois lados:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação original. A equação é:
Como o lado direito é uma constante, vamos supor que a solução particular também seja uma constante, digamos . Substituindo na equação:
Isso simplifica para:
Então, a solução particular é:

Passo 4

Agora, juntamos a solução da equação homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação original:

Passo 5

Finalmente, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor da constante .
Substituindo na solução geral:

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

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