Calcule os seguintes limites no infinito:
(o) lim x -infty 2-raiz|x|raiz1-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve conceitos de limites no infinito e manipulação de expressões com raízes. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento das funções à medida que tende a .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro das raízes. Quando 2 - raiz-xraiz1 - x tende a , é igual a porque é negativo. Então, podemos reescrever a fração como:

Passo 3

Agora, para facilitar a análise, vamos fatorar 2 - raiz-xraiz1 - x = 2 - raiz-xraiz-x cdot raiz1-x + 1 das expressões dentro das raízes. Lembrando que 2raiz-x cdot raiz1-x + 1 - raiz-xraiz-x cdot raiz1-x + 1 = 2raiz-x cdot raiz1-x + 1 - 1raiz1-x + 1 quando , mas aqui é negativo, então precisamos ter cuidado:
Simplificando, fica:

Passo 4

À medida que 2raiz-x cdot 1 - 11 = 2raiz-x - 1 tende a , tende a 0. Portanto, tende a . Substituindo na expressão:

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de cada termo:
  • 0 - 1 = -1 tende a 0 porque cresce sem limite conforme tende a .
  • permanece constante.
Então, o limite da expressão completa é:

Resposta

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