Calcule os seguintes limites no infinito: lim x +infty sen(pi x^2-x+14 x^2-5 x+2)

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x +infty sen(pi x^2-x+14 x^2-5 x+2). Nesse exercício, estamos aplicando conceitos de limites de funções polinomiais e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o limite do quociente de polinômios quando x tende ao infinito e, em seguida, aplicar a função seno nesse resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o quociente pi x^2-x+14 x^2-5 x+2 quando x tende ao infinito. Em limites no infinito envolvendo polinômios, os termos de maior grau (no caso, x^2) dominam o comportamento da função. Então, podemos simplificar o quociente considerando apenas os termos de maior grau:
pi x^2-x+14 x^2-5 x+2 approx pi x^24 x^2 = pi4

Passo 3

Com essa simplificação, o limite do quociente dentro do seno fica:
lim x +infty pi x^2-x+14 x^2-5 x+2 = pi4
Isso significa que, à medida que x tende ao infinito, o valor da expressão dentro do seno se aproxima de pi4.

Passo 4

Agora que sabemos o limite do argumento do seno, podemos calcular o limite da função seno:
lim x +infty sen(pi x^2-x+14 x^2-5 x+2) = sen(pi4)
Sabemos que sen(pi4) = raiz22.

Resposta

raiz22

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