Calcule os seguintes limites no infinito:
lim x infty 2 x^3+1x^4+2 x+1

Passo 1

Vamos resolver o limite no infinito da função 2x^3 + 1x^4 + 2x + 1. Esse exercício faz parte do estudo dos limites de funções racionais, onde analisamos o comportamento de um quociente de polinômios quando x tende ao infinito. Para resolver, vamos precisar identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o grau de cada polinômio. No numerador, o termo de maior grau é 2x^3 (grau 3), e no denominador é x^4 (grau 4). O grau de um polinômio é o maior expoente da variável x que aparece na expressão.

Passo 3

Agora, vamos comparar os graus do numerador e do denominador:
  • Se o grau do numerador for menor que o grau do denominador, o limite no infinito é 0.
  • Se os graus forem iguais, o limite será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
  • Se o grau do numerador for maior, o limite tende ao infinito ou menos infinito, dependendo dos coeficientes.
No nosso caso, o grau do numerador (3) é menor que o grau do denominador (4).

Passo 4

Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, o limite da função racional no infinito é 0. Isso acontece porque, para valores muito grandes de x, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, fazendo com que o quociente diminua e se aproxime de zero.

Resposta

O limite é 0.

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