Usando o limite fundamental lim x infty(1+1x)^x=e. Calcule os seguintes limites:
lim h 0(1+h)^1h

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular o limite . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, especificamente utilizando o limite fundamental que relaciona a expressão com o número . Para resolver esse problema, vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e aplicar propriedades de logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o limite que queremos descobrir de L = limh 0 (1 + h)^1h :
ln L = ln ( limh 0 (1 + h)^1h ) = limh 0 ln ( (1 + h)^1h )
Para facilitar o cálculo, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação. Isso nos ajuda a lidar com o expoente de forma mais simples.
ln L = limh 0 1h cdot ln(1 + h)
Usando a propriedade dos logaritmos , temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite ln(1 + h) approx h - h^22 + h^33 - dots . Para isso, podemos usar a aproximação de Taylor para o logaritmo natural quando ln L approx limh 0 h - h^22 + h^33 - dotsh está próximo de 0:
Substituindo essa aproximação na nossa expressão:

Passo 4

Simplificando a expressão acima dividindo cada termo por ln L approx limh 0 (1 - h2 + h^23 - dots ) :
ln L = 1
Quando tende a 0, todos os termos que contêm vão a 0. Portanto, o limite fica:

Passo 5

Agora que temos L = e^1 = e , podemos encontrar invertendo o logaritmo natural:

Resposta

limh 0 (1 + h)^1h = e

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