Usando o limite fundamental
. Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular o limite
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, especificamente utilizando o limite fundamental que relaciona a expressão
com o número
. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e aplicar propriedades de logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o limite que queremos descobrir de
:
Para facilitar o cálculo, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação. Isso nos ajuda a lidar com o expoente de forma mais simples.
Usando a propriedade dos logaritmos
, temos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite
. Para isso, podemos usar a aproximação de Taylor para o logaritmo natural quando
está próximo de 0:
Substituindo essa aproximação na nossa expressão:
Passo 4
Simplificando a expressão acima dividindo cada termo por
:
Quando
tende a 0, todos os termos que contêm
vão a 0. Portanto, o limite fica:
Passo 5
Agora que temos
, podemos encontrar
invertendo o logaritmo natural:
Resposta
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