Usando o limite fundamental lim x infty(1+1x)^x=e. Calcule os seguintes limites:
lim h 0 e^h-1h

Passo 1

Vamos resolver o limite lim h 0 e^h-1h. Esse exercício está relacionado ao conceito de derivada na matemática, especificamente à derivada da função exponencial e^x. Para resolver, vamos usar o limite fundamental que relaciona a função exponencial com a constante e, que é lim x infty(1+1x)^x=e.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em um ponto específico. No caso da função f(x) = e^x, queremos encontrar essa taxa de variação quando h tende a zero.

Passo 3

A definição de derivada de f(x) em um ponto x é dada por:
f'(x) = limh 0 f(x+h) - f(x)h
No nosso caso, f(x) = e^x, então:
f'(x) = limh 0 e^x+h - e^xh

Passo 4

Podemos fatorar e^x na expressão acima:
f'(x) = limh 0 e^x cdot e^h - e^xh = e^x cdot limh 0 e^h - 1h

Passo 5

Observando que queremos calcular lim h 0 e^h-1h, percebemos que isso é justamente a derivada de e^x no ponto x=0, que sabemos ser e^0 = 1.

Passo 6

Portanto:
lim h 0 e^h-1h = 1

Resposta

O limite lim h 0 e^h-1h é igual a 1.

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