Calcule os seguintes limites infinitos: lim x 1^- x^3-1x^2-2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 1^- x^3-1x^2-2 x+1. A gente vai usar conhecimentos de álgebra e limites. Primeiro, vamos entender que temos um limite onde x está se aproximando de 1 pela esquerda, e vamos precisar fatorar tanto o numerador quanto o denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos começar fatorando o numerador x^3 - 1. Isso é uma diferença de cubos, que segue a fórmula: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). Aqui, a = x e b = 1, então:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1)

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 2x + 1. Isso é um trinomio do segundo grau que pode ser fatorado como um quadrado perfeito:
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

Passo 4

Substituindo as fatorações no limite, temos:
lim x 1^- (x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 1)^2 = lim x 1^- x^2 + x + 1x - 1
Aqui, cancelamos um (x - 1) do numerador com um do denominador.

Passo 5

Agora, observamos que ao substituir x = 1, teremos uma divisão por zero, o que indica que o limite tende ao infinito ou menos infinito. Para descobrir qual, vamos analisar o comportamento de x - 1 quando x se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1).
Quando x 1^-, x - 1 é um número negativo muito pequeno, ou seja, negativo 0.

Passo 6

O numerador x^2 + x + 1 quando x 1 é:
1^2 + 1 + 1 = 3
Então, temos:
lim x 1^- 3negativo 0 = -infty

Resposta

O limite é igual a -infty.

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