Calcule os seguintes limites laterais e no infinito: lim x 2^+ x^2+3 xx^2-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai calcular um limite lateral, especificamente quando se aproxima de 2 pela direita ( ), da função . Isso envolve conceitos de limites em funções racionais e análise de sinais. Para resolver, a gente vai precisar entender como as funções se comportam perto do ponto onde se aproxima de 2 pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 2^2 + 3 cdot 22^2 - 4 = 4 + 64 - 4 = 100 na função para ver o que acontece:
Aqui, temos uma divisão por zero, o que indica que o limite pode tendendo a infinito ou menos infinito. Mas para saber qual, precisamos analisar o comportamento da função conforme se aproxima de 2 pela direita.

Passo 3

Vamos olhar o denominador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Podemos fatorar essa expressão:
Quando se aproxima de 2 pela direita, estamos considerando valores de um pouquinho maiores que 2, como 2.1, 2.01, etc. Vamos ver o sinal de cada fator:
  • : Se , então é positivo.
  • : Sempre positivo para próximo de 2.
Então, o denominador é positivo.

Passo 4

Agora, vamos analisar o numerador (2.1)^2 + 3 cdot 2.1 = 4.41 + 6.3 = 10.71 :
Para próximo de 2, digamos 2.1:
O numerador também é positivo.

Passo 5

Com o numerador e o denominador ambos positivos e o denominador se aproximando de zero, a fração inteira vai crescer sem limites positivos. Portanto, o limite tende a positivo infinito.

Resposta

lim x 2^+ x^2+3 xx^2-4 = +infty

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