Calcule os seguintes limites infinitos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, especialmente limites infinitos. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e quando aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 1. Substituindo
:
- Numerador:
- Denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0, temos uma forma indeterminada
. Nesse caso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas:
-
Derivada do numerador (
): -
Derivada do denominador (
):
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo o limite original pelas derivadas:
Passo 5
Vamos substituir
na nova expressão:
Aqui, o denominador está se aproximando de 0. Precisamos analisar o sinal:
- À medida que
se aproxima de 1 pela direita ( ), se aproxima de por valores positivos.
Então, temos uma divisão de um número positivo por um valor que se aproxima de zero positivamente, o que resulta em infinito positivo.
Resposta
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.
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