Calcule os seguintes limites infinitos: lim x 1^+ x^3-1x^2-2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, especialmente limites infinitos. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e quando aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 1. Substituindo :
  • Numerador:
  • Denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0, temos uma forma indeterminada . Nesse caso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:
  • Derivada do numerador ( f'(x) = 3x^2 ):
    g'(x) = 2x - 2
  • Derivada do denominador ( ):

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo o limite original pelas derivadas:
lim x 1^+ x^3-1x^2-2 x+1 = lim x 1^+ 3x^22x - 2

Passo 5

Vamos substituir 3 times 1^22 times 1 - 2 = 30 na nova expressão:
Aqui, o denominador está se aproximando de 0. Precisamos analisar o sinal:
  • À medida que se aproxima de 1 pela direita ( ), se aproxima de por valores positivos.
Então, temos uma divisão de um número positivo por um valor que se aproxima de zero positivamente, o que resulta em infinito positivo.

Resposta

lim x 1^+ x^3-1x^2-2 x+1 = +infty

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