Calcule os seguintes limites infinitos: lim x infty[x-raiz[3]3 x^3+2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular . Para isso, vamos usar conceitos de limites infinitos e manipulação de expressões envolvendo funções polinomiais e radicais. Vamos precisar entender como funções se comportam quando cresce muito, e também como simplificar expressões com raízes cúbicas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte dentro da raiz cúbica: . Quando tende ao infinito, o termo domina o , então vai se comportar como .

Passo 3

Vamos simplificar raiz[3]3x^3 + 2 approx raiz[3]3x^3 = x cdot raiz[3]3 :
Aqui, usamos a propriedade da raiz cúbica que diz .

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
x - raiz[3]3x^3 + 2 approx x - x cdot raiz[3]3 = x (1 - raiz[3]3)
Sabemos que , então .

Passo 5

Multiplicando limx to infty x (1 - raiz[3]3) = -infty por um número negativo, vemos que conforme cresce, a expressão vai para menos infinito:

Resposta

lim x infty[x-raiz[3]3 x^3+2] = -infty

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