Usando o limite fundamental lim x infty(1+1x)^x=e. Calcule os seguintes limites: lim x 0 e^x^2-1x

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos calcular o limite . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites e derivadas, especificamente a definição da derivada da função exponencial. Precisaremos entender como o comportamento da função se comporta próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + dots pode ser aproximada pela série de Taylor em torno de e^x^2 = 1 + x^2 + x^42! + x^63! + dots :
Como estamos lidando com , substituímos por :

Passo 3

Agora, vamos subtrair 1 de e^x^2 - 1 = x^2 + x^42! + x^63! + dots :
Para simplificar o cálculo do limite, podemos considerar apenas o primeiro termo da expansão, já que os termos de ordem superior se tornam negligenciáveis quando tende a 0.

Passo 4

Substituindo na expressão original do limite:
lim x 0 e^x^2 -1x approx lim x 0 x^2x = lim x 0 x = 0
Portanto, o limite é 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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