Calcule os seguintes limites: j)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 para a expressão
. Estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente com funções trigonométricas, e para resolver isso, vamos precisar entender como a cotangente se comporta próximo a 0.
Passo 2
Lembrando que a cotangente pode ser expressa em termos de seno e cosseno:
. Então, podemos reescrever a expressão:
Passo 3
Agora, observamos que, quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Uma relação importante que usamos nesses casos é:
Isso nos ajuda a simplificar expressões que envolvem seno próximo de 0.
Passo 4
Vamos reescrever a expressão para aproveitar essa propriedade. Vamos multiplicar e dividir por
:
Passo 5
Agora, aplicando a propriedade do limite que mencionamos:
E sabemos que
quando
se aproxima de 0,
.
Passo 6
Portanto, substituindo esses valores no limite:
Resposta
O limite
é igual a 1.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites: e)
Resolva as seguintes desigualdades: c)
Verifique se a função é par ou ímpar. f)