Calcule os seguintes limites: j) lim x 0 x cot 4 x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 para a expressão . Estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente com funções trigonométricas, e para resolver isso, vamos precisar entender como a cotangente se comporta próximo a 0.

Passo 2

Lembrando que a cotangente pode ser expressa em termos de seno e cosseno: x cot 4x = x cdot cos 4xsin 4x . Então, podemos reescrever a expressão:

Passo 3

Agora, observamos que, quando limtheta to 0 sin thetatheta = 1 se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Uma relação importante que usamos nesses casos é:
Isso nos ajuda a simplificar expressões que envolvem seno próximo de 0.

Passo 4

Vamos reescrever a expressão para aproveitar essa propriedade. Vamos multiplicar e dividir por x cdot cos 4xsin 4x = xx cdot cos 4xsin 4x4x = cos 4xsin 4x4x :

Passo 5

Agora, aplicando a propriedade do limite que mencionamos:
limx to 0 sin 4x4x = 1
E sabemos que quando se aproxima de 0, .

Passo 6

Portanto, substituindo esses valores no limite:
limx to 0 x cot 4x = 11 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

Exercícios relacionados