Resolva as seguintes desigualdades: c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. Aqui estamos lidando com uma desigualdade envolvendo valores absolutos e um termo quadrático. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto e como resolver desigualdades quadráticas. Vamos dar uma olhada passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto
depende do sinal de
. Ou seja,
se
e
se
. Isso significa que precisamos dividir nossa resolução em dois casos:
- Caso 1:
(ou seja, ) - Caso 2:
(ou seja, )
Passo 3
Caso 1:
Aqui,
. Substituindo isso na desigualdade:
Vamos simplificar:
Agora, precisamos resolver a desigualdade quadrática
. Para isso, vamos encontrar as raízes da equação
usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Então,
As raízes são
e
. Como estamos no caso onde
, consideramos apenas as soluções que satisfazem essa condição.
Agora, sabemos que a expressão quadrática
é uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de
é positivo). Portanto, a desigualdade
é satisfeita entre as raízes:
Mas lembrando que
, então a solução para este caso é:
Passo 4
Caso 2:
Aqui,
. Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Vamos resolver a desigualdade quadrática
. Primeiro, encontramos as raízes da equação
:
As raízes são
e
. Novamente, como estamos no caso
, só consideramos as soluções que atendem essa condição.
A parábola
também abre para cima, então a desigualdade
é verdadeira entre as raízes:
Mas como
, verificamos se
. Sabemos que
, então:
Portanto, a solução para este caso é:
Passo 5
Agora, juntando as soluções dos dois casos:
- Caso 1:
- Caso 2:
Vamos verificar se essas soluções se sobrepõem ou são distintas. Sabemos que
e
, então:
Observamos que o intervalo do Caso 2 vai de
até
, e o intervalo do Caso 1 vai de aproximadamente
até
. Isso significa que há uma pequena sobreposição.
Passo 6
Finalmente, combinamos os intervalos considerando as sobreposições:
Ou, em termos aproximados:
Resposta
A solução da desigualdade
é:
Ou, aproximadamente:
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites: j)
Verifique se a função é par ou ímpar. f)
8
Sejam . Determine a fórmula para cada função abaixo
a)
Sejam
a)