Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.
lim t 0(1-cos tt, sen(7 t) cdot sen(9 t)t^2, sen tsen pi t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limites! A gente tem três limites pra calcular quando se aproxima de 0. A matéria que vamos usar envolve funções trigonométricas e propriedades básicas de limites. Precisaremos usar identidades trigonométricas e saber calcular limites de funções trigonométricas comuns.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite: 1 - cos tt = 2 sin^2(t2)t .
Sabemos que, quando 2 cdot sin(t2)t2 cdot sin(t2) está perto de 0, a expressão 2 cdot 1 cdot 0 = 0 pode ser simplificada usando a identidade trigonométrica . Então:
Agora, podemos reescrever isso como:
Sabemos que . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo limite: .
Podemos separar os senos:
Aqui, inserimos os números para ajustar o denominador:
Sabendo que , temos:
sen(7t)7t cdot sen(9t)9t cdot 63

Passo 4

Por último, vamos resolver .
Podemos reescrever isso como:
Usando :
sen tt cdot pi tsen pi t cdot 1pi

Resposta

Os limites são:
limt to 0 1 - cos tt = 0

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