Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^n 2^n(2 n-5)^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita da forma sumn=1^infty(-1)^n-1 n^n 2^n(2n-5)^n. O objetivo é verificar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer os testes de convergência de séries, como o teste da razão e o teste da série alternada.

Passo 2

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 n^n 2^n(2n-5)^n | = sumn=1^infty n^n 2^n(2n-5)^n
Agora, aplicamos o teste da razão para essa série.

Passo 3

No teste da razão, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an = n^n 2^n(2n-5)^n. Então:
an+1an = (n+1)^n+1 2^n+1(2(n+1)-5)^n+1 cdot (2n-5)^nn^n 2^n = 2 cdot (n+1)^n+1n^n cdot ( 2n-52n-3 )^n cdot 12n-3

Passo 4

Simplificando o limite:
L = 2 cdot limn to infty (1 + 1n)^n cdot (2n-52n-3)^n cdot 12n-3
Sabemos que (1 + 1n)^n to e e (2n-52n-3)^n approx e^- nn = e^-1. Além disso, 12n-3 to 0.

Passo 5

Substituindo os limites:
L = 2 cdot e cdot e^-1 cdot 0 = 0
Como L = 0 < 1, pelo teste da razão, a série dos valores absolutos converge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos converge, podemos concluir que a série original:
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^n 2^n(2n-5)^n
também converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados

Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^nn!
Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.
lim t 0(1-cos tt, sen(7 t) cdot sen(9 t)t^2, sen tsen pi t)
Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.
lim t 0(sen tt, sen 2 tt, sen 3 tt)
Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas do segmento de reta que liga P a Q .
P(-2,1,0), Q(5,2,-3)