Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O exercício pede para verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos utilizar os testes de convergência de séries, especificamente o teste da convergência absoluta e o teste da série alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que analisamos a série sem considerar os sinais alternados. Então, consideramos a série:
Passo 3
Para determinar se essa série converge, vamos compará-la com uma série p conhecida. Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p com p = 2, que converge porque p > 1.
Passo 4
Observando os termos das duas séries, temos:
1n^2 + 2n < 1n^2
Isso porque n^2 + 2n > n^2 para todo n >= 1, então o denominador é maior, tornando o termo da série original menor que o da série p.
Passo 5
Pelo Teste de Comparação, se uma série com termos menores que uma série convergente também converge. Portanto, a série sumn=1^infty 1n^2 + 2nconverge absolutamente.
Passo 6
Como a série converge absolutamente, não precisamos verificar a convergência condicional. A convergência absoluta implica que a série também converge, independentemente dos sinais alternados.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n-1 1n^2 + 2n é absolutamente convergente.