Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2+2 n

Passo 1

O exercício pede para verificar se a série sumn=1^infty (-1)^n-1 1n^2 + 2n é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos utilizar os testes de convergência de séries, especificamente o teste da convergência absoluta e o teste da série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que analisamos a série sem considerar os sinais alternados. Então, consideramos a série:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 1n^2 + 2n | = sumn=1^infty 1n^2 + 2n

Passo 3

Para determinar se essa série converge, vamos compará-la com uma série p conhecida. Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p com p = 2, que converge porque p > 1.

Passo 4

Observando os termos das duas séries, temos:
1n^2 + 2n < 1n^2
Isso porque n^2 + 2n > n^2 para todo n >= 1, então o denominador é maior, tornando o termo da série original menor que o da série p.

Passo 5

Pelo Teste de Comparação, se uma série com termos menores que uma série convergente também converge. Portanto, a série sumn=1^infty 1n^2 + 2n converge absolutamente.

Passo 6

Como a série converge absolutamente, não precisamos verificar a convergência condicional. A convergência absoluta implica que a série também converge, independentemente dos sinais alternados.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n-1 1n^2 + 2n é absolutamente convergente.

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sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^23+n
Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.
lim t 0(1-cos tt, sen(7 t) cdot sen(9 t)t^2, sen tsen pi t)