Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte série para analisar:
O objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries infinitas, como o Teste da Série Alternada e a análise da convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos:
Vamos ver se essa série converge ou diverge.
Passo 3
Para entender o comportamento de n^nn! conforme n! approx n^n e^-n raiz2pi n cresce, podemos usar uma fórmula aproximada para o fatorial, chamada de Fórmula de Stirling:
n^nn! approx n^nn^n e^-n raiz2pi n = e^nraiz2pi n
Usando essa aproximação, temos:
n^nn!
Isso mostra que, conforme aumenta, cresce exponencialmente.
Passo 4
Agora, vamos analisar a série:
sumn=1^infty e^nraiz2pi n
Essa é uma série geométrica com razão , o que sabemos que diverge, pois termos de uma série geométrica com razão maior que 1 não somam a um valor finito.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos diverge, concluímos que a série original não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.
Passo 6
O Teste da Série Alternada diz que uma série alternada sum (-1)^n an converge se:
Os termos an = n^nn! são positivos.
é uma sequência decrescente.
.
Vamos verificar isso para nossa série:
Já vimos que cresce exponencialmente e não tende a zero. Portanto, o Teste da Série Alternada não é satisfeito.
Passo 7
Como a série não é absolutamente convergente e não satisfaz as condições para ser condicionalmente convergente, concluímos que a série diverge.