Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte série para analisar:
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^nn!
O objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries infinitas, como o Teste da Série Alternada e a análise da convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 n^nn! | = sumn=1^infty n^nn!
Vamos ver se essa série converge ou diverge.

Passo 3

Para entender o comportamento de n^nn! conforme n! approx n^n e^-n raiz2pi n cresce, podemos usar uma fórmula aproximada para o fatorial, chamada de Fórmula de Stirling:
n^nn! approx n^nn^n e^-n raiz2pi n = e^nraiz2pi n
Usando essa aproximação, temos:
n^nn!
Isso mostra que, conforme aumenta, cresce exponencialmente.

Passo 4

Agora, vamos analisar a série:
sumn=1^infty e^nraiz2pi n
Essa é uma série geométrica com razão , o que sabemos que diverge, pois termos de uma série geométrica com razão maior que 1 não somam a um valor finito.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos diverge, concluímos que a série original não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.

Passo 6

O Teste da Série Alternada diz que uma série alternada sum (-1)^n an converge se:
  1. Os termos an = n^nn! são positivos.
  2. é uma sequência decrescente.
  3. .
Vamos verificar isso para nossa série:
Já vimos que cresce exponencialmente e não tende a zero. Portanto, o Teste da Série Alternada não é satisfeito.

Passo 7

Como a série não é absolutamente convergente e não satisfaz as condições para ser condicionalmente convergente, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1 n^nn! diverge.

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