Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado! A gente precisa verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente ou condicionalmente convergente.
Convergência Absoluta: A série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge.
Convergência Condicional: A série converge, mas a série dos valores absolutos diverge.
Divergente: A série não converge nem absolutamente nem condicionalmente.
Passo 3
Vamos começar verificando a convergência absoluta da série. Isso significa que precisamos analisar a série dos valores absolutos:
Passo 4
Para determinar se essa série converge, podemos comparar com uma série conhecida. Observamos que, para grandes valores de sumn=1^infty 1n , é menor que , então . Assim, nossa série se comporta aproximadamente como:
Essa é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 6
Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que se uma série alternada satisfaz duas condições:
é decrescente ()
Então a série converge.
Passo 7
No nosso caso, .
Decrescente: À medida que aumenta, o denominador aumenta, então diminui.