Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^23+n

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado! A gente precisa verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente ou condicionalmente convergente.
  • Convergência Absoluta: A série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge.
  • Convergência Condicional: A série converge, mas a série dos valores absolutos diverge.
  • Divergente: A série não converge nem absolutamente nem condicionalmente.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta da série. Isso significa que precisamos analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 1n^23 + n | = sumn=1^infty 1n^23 + n

Passo 4

Para determinar se essa série converge, podemos comparar com uma série conhecida. Observamos que, para grandes valores de sumn=1^infty 1n , é menor que , então . Assim, nossa série se comporta aproximadamente como:
Essa é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 6

Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que se uma série alternada satisfaz duas condições:
  1. é decrescente ( )
Então a série converge.

Passo 7

No nosso caso, .
  1. Decrescente: À medida que aumenta, o denominador aumenta, então diminui.
  2. Limite:
Ambas as condições são satisfeitas.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2+2 n
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n(23)^n
Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.
lim t 0(1-cos tt, sen(7 t) cdot sen(9 t)t^2, sen tsen pi t)
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^nn!