Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.
lim t 0(sen tt, sen 2 tt, sen 3 tt)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular três limites relacionados à função seno conforme se aproxima de zero. Vamos precisar entender propriedades básicas de limites e, especialmente, a famosa propriedade .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular limt 0 sin tt = 1 . Sabemos que quando se aproxima de zero, o seno de se comporta quase igualmente a em si. Isso nos leva diretamente à propriedade que mencionamos:

Passo 3

Agora, vamos para sin 2tt = 2 cdot sin 2t2t . Podemos reescrever essa expressão usando uma substituição para facilitar:
limt 0 2 cdot sin 2t2t = 2 cdot 1 = 2
Aqui, pegamos o 2 que está dentro do seno e colocamos como um fator fora. Agora, aplicamos a propriedade do limite:

Passo 4

Finalmente, vamos calcular sin 3tt = 3 cdot sin 3t3t . Vamos fazer algo parecido com o passo anterior:
limt 0 3 cdot sin 3t3t = 3 cdot 1 = 3
Novamente, tiramos o 3 de dentro do seno e multiplicamos por ele fora. Aplicamos a propriedade do limite:

Resposta

Os limites são:
limt 0 sin tt = 1, limt 0 sin 2tt = 2, limt 0 sin 3tt = 3

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