Um tanque possui 5000 litros de água que escoa pelo fundo em 40 minutos. O escoamento é representado pela função,
V(t) = 5000(1 - t/40)^(2), 0 <= t <= 40
sendo V(t) o volume de água (em litros) em um instante t (em minutos). Determine a taxa de escoamento da água no tanque no instante 5 minutos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema tá pedindo. A gente tem um tanque com 5000 litros de água que tá vazando pelo fundo, e o vazamento acontece ao longo de 40 minutos. A função que descreve quanto de água resta no tanque em qualquer instante é:
O que a gente precisa descobrir é a taxa de escoamento da água no instante de 5 minutos. Isso significa que queremos saber quão rápido a água está saindo do tanque nesse momento específico.

Passo 2

Para encontrar a taxa de escoamento, precisamos calcular a derivada da função em relação ao tempo . A derivada nos dá exatamente a taxa de variação de em relação a , ou seja, quão rápido o volume da água está mudando.
A função que temos é:
Vamos chamar de , então .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar em relação a .
Primeiro, derivamos em relação a :
Depois, derivamos em relação a :

Passo 4

Agora, multiplicamos essas duas derivadas para obter :
Lembrando que , então substituindo de volta:

Passo 5

Agora que temos a expressão para , podemos calcular a taxa de escoamento no instante de 5 minutos substituindo :

Resposta

A taxa de escoamento da água no instante de 5 minutos é de -218,75 litros por minuto.

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