Um tanque possui 5000 litros de água que escoa pelo fundo em 40 minutos. O escoamento é representado pela função,
sendo
o volume de água (em litros) em um instante
(em minutos). Determine a taxa de escoamento da água no tanque no instante 5 minutos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema tá pedindo. A gente tem um tanque com 5000 litros de água que tá vazando pelo fundo, e o vazamento acontece ao longo de 40 minutos. A função que descreve quanto de água resta no tanque em qualquer instante
é:
O que a gente precisa descobrir é a taxa de escoamento da água no instante de 5 minutos. Isso significa que queremos saber quão rápido a água está saindo do tanque nesse momento específico.
Passo 2
Para encontrar a taxa de escoamento, precisamos calcular a derivada da função
em relação ao tempo
. A derivada nos dá exatamente a taxa de variação de
em relação a
, ou seja, quão rápido o volume da água está mudando.
A função que temos é:
Vamos chamar de
, então
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar
em relação a
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Agora, multiplicamos essas duas derivadas para obter
:
Lembrando que
, então substituindo de volta:
Passo 5
Agora que temos a expressão para
, podemos calcular a taxa de escoamento no instante de 5 minutos substituindo
:
Resposta
A taxa de escoamento da água no instante de 5 minutos é de -218,75 litros por minuto.